Avant de commencer le cours des suites numériques, il est destiné pour les étudiants de : 1er année S et ES ainsi que le Bac Pro

  Les suites numériques

  • Une suite (un) de nombres réels est une fonction où la variable n est un entier naturel
  • L’image par la suite (un) d’un entier naturel n est notée   Un
  • un est le terme général de la suite, n est l’indice du terme un
  • (n∈N ) est le rang du terme un

Exemple:

  • Soit la suite définie par un = n – 2. Les termes de la suite (un) sont tels que u0 = -2 ; u1 = -3 ; u2 = 0 ; … ; u20 = 18 ;
  • u20 est le terme d’indice 20, c’est le 21e terme de la suite puisque le premier terme est uo. La suite (vn) définie par vn=√(n-4)   n’est définie que pour n ≥ 4. On la note (vn)n≥4.

Définitions d’une suite

Suite définie par une formule explicite : un = f(n)

Une suite (un) explicite définie au moyen d’une fonction de variable n  un = f(n)

Exemple :

La suite (un) définie pour ∀n∈N par :

Un=f(n)=√n.

Un=f(n)=1/(n+1)

Suite définie par récurrence

Une suite (un) définie au moyen d’une relation de récurrence un+1 = f(n)  le terme suivant  est défini en fonction du terme  précédent.

Exemple :


Sens de variation d’une suite

Suite croissante

La suite (un)  est croissante si, ∀n∈N U(n+1)≥Un

suite croissante

Exemple de suite croissante

La suite (Un) définie ∀n∈N* par :

Un=√n

Suite décroissante

La suite (Un) est décroissante si, ∀n ∈ N, un (n+1) ≤ un.

suite décroissante

Exemple :

La suite (un) définie ∀n∈N* par :

Un=1+1/n

Suite constante

Définition:

La suite (Un) est constante si, ∀n∈N U(n+1)=un

suite constante

Exemple : La suite (un) définie ∀n∈N par : Un=2

Suite Monotone

Définition:

Une suite  (un)  est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante, soit constante, autrement dit, si elle ne change pas de sens de variation.

Méthodes pour étudier le sens de variation d’une suite

on a 4 méthodes :

1ère méthode

étudier le signe de Un+1 – Un Pour tout entier naturel n.

2ème méthode

Etudier le sens de variation de la fonction f sur [0 ; + ∞ [ Si Un = f(n),

3ème méthode

Comparer U(n+1)/Un si Un>0

Si (∀n∈N) Un > 0 Comparer Un+1/Un

Si U(n+1)/Un > 1 Un est croissant

Si U(n+1)/Un < 1 Un est décroissant

4ème Méthode

Utilisation le raisonnement par récurrence

Etudier le signe de Un+1 – Un pour tout entier naturel n.

1ère Méthode

on étudie le signe de un+1 – un    . pour tout entier naturel n

Si  un+1 – un ≥0 alors la suite (un) est croissante sur N

Si un+1 – un≤0  alors la suite (un) est décroissante sur N

Exemple:

Etudier le sens de variation de la suite (un)  définie ∀n∈N* par:

Un=2-2/n

Réponse:

Conclusion:

La suite  (un)  est monotone croissante.

Etudier le sens de variation de la fonction f sur [0 ; + ∞[ Si Un = f(n)

2ème Méthode:

Cas où un  = f(n)Si la suite est définie au moyen d’une fonction de variable , alors le sens de variation de la suite est  semblable  à  celui de la fonction

Etudier le sens de variation de la fonction f sur [0 ; + ∞[

Exemple:

Etudier le sens de variation de la suite (Un) définie ∀nℕ∗ par:

Un= 2 – 2/n

Réponse:

Un = f (n) en posant f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f(x)= 2- 2/x

f est dérivables sur ]0 ; +∞[

f’ (x)=-2×-1/x²

f’ (x)= 2/x²

∀ x ∈]0 ; +∞[, f’ (x) > 0 donc la fonction f’ est croissante

Conclusion:

suite monotone croissante

La suite (un)  est monotone croissante

Comparer Un+1/ Un Si Un > 0

Si ( ∀ n ∈ N ) Un > 0 Comparer Un+1 / Un Si Un+1 / Un > 1 Un est croissant

Si Un+1 / Un < 1 Un est décroissant

Exemple:

Etudier le sens de variation de la suite :

On montre d’abord que: (∀n∈N) Un > 0

Soit la proposition P(n) : Un>0 ∀n∈N

  1. Initialisation : Montrons que P(n) est vraie pour n=0 Sachons que U0 = 5 Donc U0 > 0 La proposition P(n) est vraie pour n=0.
  2. Hérédité : On suppose que la proposition P(n) soit vraie pour un entier k≥0 , c’est à dire qu’on suppose que Uk > 0 . Montrons qu’alors P(n)  est vraie pour l’entier k + 1 c’est à dire que U(k+1)>0. D’après de la suite donnée  on a : U(k+1) = 1,5 Uk En utilisant l’hypothèse de récurrence  on a  Uk > 0 1,5 X Uk > 0 D’où U(k+1) >0

Conclusion : la proposition P(n) : Un>0 est vraie pour ∀n∈ N

On a démontré précédemment que ∀ n∈ N Un>0 donc on a :

on multiplie les deux membres d’une inégalité par un réel strictement positif

U(n+1)>Un ∀n∈N

Conclusion : La suite (Un ) est monotone croissante

4ème méthode

Utilisation du raisonnement par récurrence

Pour utiliser la récurrence, on doit d’abord conjecturer le sens de variation.

Exemple :

Etudier le sens de variation de la suite (un)définie pour tout entier naturel n par :

Réponse :

Démonstration par récurrence du sens de variation

Soit la proposition : P(n):u(n+1)>un ∀ n∈N

  1. Initialisation : Montrons que P(n) est vraie pour n=0 .

Donc u1>u0 La proposition P(n) est vraie pour n=0.

Hérédité : On suppose que la proposition P(n)soit vraie pour un entier k≥0 , c’est à dire qu’on suppose que u(k+1)>uk.

Montrons qu’alors P(n) est vraie pour k+1, c’est à dire que u(k+1+1)>u(k+1)

u(k+2)>u(k+1)

En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a : u(k+1)>uk

Or la fonction carrée est strictement croissante sur [0 ; +∞[ et puisque Un>0 ∀n∈N,

Alors u(k+1) )^2>(uk )^2

D’où u(k+2)>u(k+1)

Conclusion : la proposition P(n) : u(n+1)>un, est vraie pour ∀ n ∈ N

Conclusion : La suite (vn ) est monotone croissante.

Exercice: Pour ∀n∈N, on donne la suite (Un) définie par : U_N=n^2-5n+3

Démontrer que la suite (Un) est croissante à partir d’un certain rang.

Réponse:

On calcule la différence : U n+1 – Un

ensuite on étudie le signe de : U(n+1) – Un = 3n – 4

pour 3n-4 donc pour n≥1,3 Ainsi pour n≥2 on a. U(n+1)-Un≥0

On en déduit qu’à partir du rang 2, la suite Un est croissante

Exercice:

Pour ∀n∈N, on donne la suite (un) définie par:

Démontrer que la suite (un) est décroissante.

Réponse:

(n+2) (n+3)>0 ∀n∈N donc Un>0

Un > 0

Calculons  le rapport : U(n+1)/ Un

On en déduit que (Un ) est décroissante.

Suites majorées, minorées, bornées

Suites majorées

Définition : La suite Un est majorée si : ∃ M∈R/ ∀ n∈N: Un≤M.

Exemple 1:

Montrer que la suite ( Un ) définie pour tout n∈N*  par :

Un = 4 – 4/n

est majorée par M= 4   et tracer sa courbe

Réponse:

On calcule Un- 4 puis on étudie son signe :

Conclusion :La suite (Un) est majorée  par 4

Utiliser un raisonnement par récurrence.

Exemple 2:

Soit la suite (un) définie sur N par :

Démontrer que cette suite est majorée par 3

Réponse:

Utilisons le raisonnement par récurrence

Une suite est majorée par 3 si ∀ n∈ N un≤3

raisonnement par récurrence :

Soit la proposition P(n): un≤3, ∀ n∈N.

Initialisation : Montrons que P(n) est vraie pour n=0 .

On sait que u0 = 1 donc u0 ≤ 3 La proposition P(n) est vraie pour n=0.

Hérédité : On suppose que la proposition P(n) soit vraie pour un entier k≥0 , c’est à dire uk ≤ 3.

Montrons alors que P(n) est vraie pour l’entier k+1, c’est à dire que u(k+1)≤3

On cherche à écrire une inégalité concernant Uk+1 en partant de l’hypothèse de récurrence : Uk ≤ 3.

Donc u(k+1) ≤ 3

Conclusion : la proposition P(n) : ∀n∈N,un≤3 est vraie.(un ) est majorée par 3.

Suites minorées

Définition: La suite Un est minorée si : ∃ m∈R/∀ n∈N:un≥m

Exemple:

Montrer que la suite (Un)définie pour tout n ∈ N par :

Un=3+1/(2+n)

est minorée par m= 3 et tracer sa courbe

Réponse: On calcule Un – 3 puis on étudie son signe :

∀n∈N, Un > 3

Conclusion : La suite Un est minorée par 3

Suites bornées

Définition: La suite (Un ) est bornée si ∃ m,M ∀ n∈N: m≤un≤M

Une suite à la fois majorée et  minorée  est bornée.

Exemple:

Montrer que la suite (Un) définie pour tout n∈N par

Un=2+ sin⁡n est bornée et tracer sa courbe

Réponse:

On part de l’encadrement de sin⁡(n) puis on arrive à un encadrement de Un.

suite borné

Conclusion: La suite ( Un ) est bornée par 1 et 3

Limite d’une suite

Limite finie

Définition:

Soit l un réel. On dit que la suite ( un ) a pour limite l quand n tend vers +∞ signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On écrit alors

lim(n→+∞)⁡Un = 1

Exemple:

La suite (Un )n ∈ N^* définie par Un=1+1/(n+2) a pour limite l=1.

lim (n→+∞) ⁡Un = 1

Limite infinie

Définition:

Dire qu’une suite (Un ) a pour limite +∞ quand n tend vers +∞ signifie que tout intervalle ]A ;+∞ [ , avec A réel , contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

Exemple:

La suite (Un )(n ∈ N) définie par Un=n² a pour limite +∞.

Cela signifie que tout intervalle ]30 ; +∞[ contient tous les termes de la suite ( U6,U7…) à partir d’un certain rang n0 ( n0 = 6 ).

Pas de limite

Exemple 1:

La suite (Un )(n ∈ N) définie par Un=(-1)^n prend deux valeurs -1 et 1 . Cette suite n’a pas de limite.

Exemple 2:

La suite (Un)(n ∈ N) définie par Un=cos⁡(n) ⁡prend alternativement des valeurs réelles entre -1 et 1..

Cette  suite n’a pas de  limite.

Théorèmes généraux sur les limites de suites

Operations sur les limites de suites

Somme:

Exemple:

Déterminer lim(n→+∞)⁡(3n+√2n)

Réponse:

lim (n→+∞)⁡ (3n)=+∞ et lim(n→+∞) ⁡(√2n) =+∞ donc, par somme, lim(n→+∞)⁡(3n+√2n)=+∞

Produit:

Exemple: Déterminer lim(n→+∞)⁡n√n

Réponse:

lim(n→+∞)⁡(n)=+∞ et lim(n→+∞) ⁡(√n)= +∞ donc, par produit, lim(n→+∞)⁡(n√n)=+∞

Quotient:

Exemple:

Déterminer lim(n→+∞)⁡ 3/n

Réponse:

lim(n→+∞)⁡(3)=3 et lim(n→+∞)⁡(n)=+∞ donc , lim(n→+∞) ⁡3/n=0

Cas d’indétermination

Il y a 4 cas d’indétermination ∞-∞ ;0×∞ ; ∞/∞ ; 0/0

Dans ces cas, on est obligé de modifier l’écriture de Un.

Exemple:

Déterminer lim(n→+∞)⁡(n-√n).

Réponse:

On a lim(n→+∞)⁡(n)=+∞ et lim(n→+∞)⁡(√n)=+∞ donc (n-√n ) forme indéterminée ∞ – ∞

On modifie l’écriture de n-√n, par factorisation de l’expression :

la limite de chaque facteur :

lim(n→+∞)⁡n=+∞ et lim(n→+∞)⁡(1-1/√n)=1

Donc, par produit :

Limite d’une suite définie par une fonction polynôme

La limite d’une fonction polynôme à l’infini est égale à la limite en l’infini de son monôme de plus haut degré. Il en est donc de même pour une suite définie par une fonction polynôme.

Exemple:

Limite en l’infini d’une suite définie par une fonction rationnelle

La limite en l’infini d’une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient de ses monômes de plus haut degré. Il en est donc de même pour une suite définie par une fonction rationnelle. Une fonction rationnelle est une fonction de la forme

sont des réels et net m des entiers naturels tels que an≠0 et bm≠0.

Exemple:

Limites et convergences

Des théorèmes pour calculer la limite d’une suite

Théorèmes de comparaison

1ère théorème

Soient (un) et (vn) deux suites telles que, à partir d’un certain rang , un≤vn.

Exemple:

Etudier la convergence de la suite (Vn) définie pour tout n∈N par Vn=n^2+(-1)^n

Réponse :

2ème théorème

Soit (un) et (vn) deux suites telles que, à partir d’un certain rang , un≤vn.

Etudier la convergence de la suite(Un) définie pour tout entier naturel n par Un=-n^2+cos⁡(n)

Réponse:

On définit la suite (Vn ) pour tout entier naturel n par Vn=-n^2+1

Théorème des gendarmes ou l’encadrement

Soit (un), (vn)et (wn)trois suites telles que, à partir d’un certain rang , vn≤un≤wn.

Exemple:

Etudier la convergence de la suite (Vn) définie pour tout entier naturel n non nul par :

Un = (sin⁡(n))/n+2

Réponse :

On définit la suite (Un ) pour tout entier naturel n non nul par :

Vn=-1/n+2

et la suite (Wn ) pour tout entier naturel n non nul par :

Donc, d’après le théorème des gendarmes,

lim(n→+∞)⁡Un=2

Illustration graphique :

Remarque

( un )converge vers l <=>(u(n+1) ) converge vers l .

Soit (un ) une suite définie pour tout n∈N par u(n+1)= f(un )

Si la suite ( un ) converge vers une limite finie l, alors l vérifie l’équation l=f(l)

Démonstration :

Théorème de la convergence d’une suite monotone

Soit une suite croissante. Si cette suite est majorée alors elle converge.

Exemple:

La suite (Un) définie sur N* par Un=2-1/n

On montre que :

(Un) est croissante

(Un) est majorée par 2

On conclut que d’après le théorème de la convergence d’une suite monotone, la suite (Un) a une limite finie.

Soit une suite décroissante. Si cette suite est minorée alors elle converge.

Exemple:

La suite (Vn) définie sur N^* par Vn=2+1/n

On montre que :

(Vn) est décroissante

(Vn) est minorée par 2 ( par exemple)

On conclut que d’après le théorème de la convergence monotone, la suite (Vn) a une limite finie.

Propriété : Suite croissante de limite l

Soit une suite croissante. Si cette suite est converge vers l alors l est un majorant de la suite.

Exemple:

La suite (Un) définie sur N* par Un=2-1/n

On montre que :

(Un) est croissante.

(Un) converge vers 2.

On conclut que 2 est un majorant de la suite (Un).

Théorème : suite croissante non majorée

Soit une suite croissante. Si cette suite n’est pas majorée, alors elle diverge vers +∞.

Si vous avez besoin de quelques choses à propos de ce cours ( suites numériques ), l’équipe Coursuniversel à votre disposition.

aliwiss
aliouhidousse@gmail.com
Webmaster, après avoir fini mes études dans la faculté des sciences et techniques au Maroc , Branche : LST ingénierie de l'eau et de l'environnement, J'ai commencé mes business sur le web

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