La Fonction Logarithme Népérien

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Cours de la fonction logarithme népérien avec des exercices corrigés

La fonction exp(x) exponentielle est continue et strictement croissante sur ℝ donc elle admet une fonction réciproque défini sur ℝ

Définition

La fonction réciproque de la fonction exponentielle s’appelle fonction logarithme népérien notée 𝒍𝒏

La fonction exponentielle exp(x) et logarithme népérien ln sont réciproques l’une de l’autre

Relations 

∀ 𝒙 ∈ ℝ     ∀ y ∈]0 ; + ∞[           ( y= 𝒆𝒙𝒑(𝒙) ⇔ x=ln(y)

∀𝒙 ∈]0 ; + ∞[                                  𝒆𝒙𝒑(ln(𝒙)) = 𝒙

∀ 𝒙 ∈ ℝ                                              ln(𝒆𝒙𝒑(𝒙) )= 𝒙

∀ 𝒙 ∈ ℝ ∀ y ∈]0 ; + ∞[                    y= 𝒆𝒙 ⇔ 𝒙 =ln(y)

∀𝒙 ∈]0 ; + ∞[                             𝒆 ln(x) = 𝒙                  ∀ 𝒙 ∈ ℝ ln(𝒆𝒙)= 𝒙

 

Equations et inéquations

1-Equations

(∀ a, b ∈ ]0 ; + ∞[ ) 𝒍𝒏(𝒂) = 𝒍𝒏(𝒃) ⟺ 𝒂=𝒃

Exemple 

Résoudre dans ℝ l’équation    ln(x)=1+ln(5)

x∈]0;+∞[ ln(x)=1+ln(5) ⟺ ln(x)=ln(e)+ln(5) ⟺ ln(x)=ln(5e)

x=5e       solution S={5e}

Inéquations

(∀ a, b ∈ ]0 ; + ∞[ )          ln(a) < ln(b) ⟺ a< b

Exemple :

Résoudre dans l’inéquation       ln(3x+1) <2

  • Condition d’existence :  3x+1 > 0 ⟺ x >-1/3
  • ∀ x∈ ]-1/3;+∞[ ln(3x+1) < 2 ⟺ ln(3x+1) < ln(e2) ⟺ 3x+1< e2 x < (e2-1)/3

d’où l’ensemble des solutions      S= ]-1/3 ; (e2-1)/3 [

 

Propriétés de la fonction logarithme népérien

 (∀𝑥 > 0; ∀𝑦 > 0)       𝑙𝑛(𝑥 × 𝑦) = 𝑙𝑛(𝑥) + 𝑙𝑛(𝑦)

(∀ a, b ∈ ]0 ; + ∞[ )

  • 𝒍𝒏(1/a) = −𝒍𝒏(𝒂)
  • 𝒍𝒏(
    ab

    ) = 𝐥𝐧(𝒂)− 𝒍𝒏(𝒃)

  • 𝒍𝒏(an ) = 𝒏 𝒍𝒏(𝒂)
  • 𝒍𝒏(
    a

    ) = 𝟏/𝟐 𝒍𝒏(𝒂)

(∀𝑎1, 𝑎2, …….𝑎𝑛)]0 ; + ∞[ )
  𝒍𝒏(𝒂𝟏×𝒂𝟐×……..×𝒂𝒏) = 𝒍𝒏(𝒂𝟏)+𝒍𝒏(𝒂𝟐)+⋯.+𝒍𝒏 (𝒂𝒏)

 

Limites de la fonction 𝒍𝒏(x)

Etude de la fonction logarithme népérien

-Continuité et dérivabilité

  • La fonction logarithme népérien ln est continue sur ]0 ; + ∞[ )
  • La fonction ln est dérivable sur ]0 ; + ∞[ et pour tout réel x de ]0 ; + ∞[

Sens de variations

Cela montre que la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[

Limites

Tableau de variation et représentation graphique

Représentation de la fonction logarithme népérien

Les représentations de la fonction logarithme népérien et de la fonction exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.

 

Dérivée de la fonction 𝐥𝐧(𝒖(𝒙))

Soit 𝒖(𝒙) une fonction dérivable sur un intervalle I et 𝒖(𝒙) >0 alors la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle I par 𝒇(𝒙)= 𝐥𝐧(𝒖(𝒙)) est dérivable sur I et on a :

Fonction logarithme de base a

On appelle fonction logarithme de base a la fonction noté log a tel que:

Soit a ∈ ]0;+∞[  ∀x∈ ] 0 ; + ∞ [

le logarithme de base a=e est le logarithme népérien ∀x∈ ]0;+∞[ loge x = ln x

Propriétés

x∈ ]0;+∞[  ∀ y ∈ ]0;+∞[

  • loga (x y) = logax + logay
  • loga (x/ y)= loga x – loga y
  • loga (xn )=𝒏 loga(x)

La fonction l𝑜𝑔𝑎 est une bijection de ]0, +∞[ vers ℝ

(∀𝑥 > 0) (∀𝑦 > 0)       loga(𝑥) = loga(𝑦) ⟺ 𝑥 = 𝑦
(∀𝑥 > 0)(∀𝑟 ∈ ℚ)         loga(𝑥) = 𝑟 ⟺ 𝑥 = 𝑎𝑟

loga N= x ax= N

Dérivée

La fonction l𝑜𝑔𝑎 est continue et dérivable sur ]0, +∞[ et (∀𝑥 ∈]0, +∞[) :

 

La fonction logarithme décimal

Définition:

La fonction logarithme de base 10 (a = 10) notée log est appelée logarithme décimal.

On a donc pour ∀x∈ ]0;+∞[

Propriétés :

  • 𝑙𝑜𝑔(10) = 1

(∀𝑥 > 0)(∀𝑟 ∈ ℚ)

  • 𝑙𝑜𝑔(𝑥) = 𝑟 ⟺ 𝑥 = 10r
  • log(10r) = r
  • 𝑙𝑜𝑔(𝑥) > 𝑟 ⟺ 𝑥 > 10𝑟
  • 𝑙𝑜𝑔(𝑥) ≤ 𝑟 ⟺ 0 < 𝑥 ≤ 10𝑟

Exercice

Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes

f(x)=ln(5x+10)

SOLUTION

Condition d’existence de ln si : 5x+10 >0 ⇔ 5x>-10 ⇔ x > -2

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f(x)=log2(2x-10)

SOLUTION

Condition d’existence de log si 2x-10 > 0 ⇔ 2x > 10 ⇔ x > 5

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Calculer log2 24 , log625

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Résoudre dans ℝ l’équation 3 log10 x +1 =2

3 log10 x =1 log10 x=1/3 ⟺ x=101/3


Résoudre dans ℝ l’équation      log2 (9x – 4)=3

log2 (9x – 4)=3 ⟺ 23=9x-4 8=9x-4 12=9x x=4/3

Donc la solution de l’équation est  x=4/3

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Résoudre dans ℝ l’équation log2(x+6) – log2(3x+2)= -1

log2(x+6) – log2(3x+2)=-1

3x + 2 =2x + 12 x = 10

Donc la solution de l’équation est x = 10

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Résoudre dans ℝ l’équation   log3(x+6) + log3(3x) = 4

log3(x+6) + log3(3x) = 4 ⟺ Log3(x+6)(3x) = 4

Log3(3x2 + 18x) = 4 ⟺ 34 = 3x2 + 18x ⟺ 81 = 3x2 + 18x

27 = x2 +6x ⟺ 0 = x2 + 6x – 27 ⟺ 0 = (x+9)(x-3)

x + 9 = 0 ou x – 3 = 0        ⟺    x = -9 ou x = 3

Condition d’existence est de log  log3(x+6) est x+6>0⟹ x>-6

Donc la solution de l’équation est x = 3

Exercices sur dérivées

f(x)=ln(5x-10)

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f(x)=ln(5x4+8x-12)

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f(x)=ln(3x -4)4

f(x) = ln(3x -4)4 = 4 ln(3x -4)

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