Etude De Fonctions

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Je vous présente le cours : étude de fonctions avec des exercices corrigés à la fin du cours.

Convexité, concavité et Point d’inflexion

Convexité

Définitions

Soit 𝒇 une fonction dérivable sur un intervalle I, représentée par sa courbe 𝓒 :

La fonction 𝒇 est convexe sur I si sa courbe 𝓒 est située entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes.

Concavité

Une fonction dérivable sur un intervalle I est concave sur cet intervalle si sa courbe représentative est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes.

Point d’inflexion

Définition

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, 𝐶𝑓 sa courbe représentative dans un repère et a∈ I.

Le point A(a ; f(a)) est un point d’inflexion de 𝐶𝑓 si la courbe traverse sa tangente en A.

C’est le point où s’opère le changement de concavité de la courbe 𝐶𝑓

Convexité et dérivées

Convexité et signe de f ’’

Définition

Soit f une fonction dérivable sur I,

f est deux fois dérivable sur I

La dérivée de f ’, notée f ’’, est appelée dérivée seconde de f.

Propriété

Soit f une fonction deux fois dérivable sur I.

  • Si pour tout réel x de I, f ’’(x) >0, alors f est convexe sur I ;
  • Si pour tout réel x de I, f ’’(x) <0, alors f est concave sur I.

2) Point d’inflexion et dérivée seconde

Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I, 𝐶𝑓 sa courbe représentative dans un repère et x0 ∈ I.

Le point A((x0, f(x0))) est un point d’inflexion de 𝐶𝑓 si et seulement si f ’’ s’annule en x0 en changeant de signe.

Exemple

Reprenons l’exemple de la fonction f(x) = x3

On a f ’(x) = 3x² et f ’’(x) = 6x s’annule en 0 en changeant de signe.

L’origine (0 ; 0) est donc un point d’inflexion de la courbe représentative.

Branches infinies

Asymptote horizontale

alors la courbe 𝐶𝑓 représentative de la fonction f admet une asymptote horizontale d’équation y = a au voisinage de ±∞

Exemple :

Etudier les asymptotes de la fonction

Asymptote verticale

DEFINITION 

Si la fonction 𝑓 vérifie l’une des limites suivantes :

alors La droite d’équation x=a parallèle à l’axe des ordonnées, on l’appelle asymptote verticale à la courbe C.

Exemple :

Etudier l’asymptote de la fonction

Asymptote oblique et parabolique

On a 4 possibilités :

1. Asymptote oblique

alors la droite d’équation y = ax b est asymptote oblique à la courbe C de la fonction f en ±∞

Exemple : déterminer asymptote oblique de la fonction

2.Branche parabolique de direction asymptotique (ox)

Définition

alors la courbe 𝐶𝑓 de la fonction f admet une branche parabolique dans la direction de l’axe des abscisses ox ( O , ) au voisinage de l’infini

Exemple :

donc 𝐶𝑓 admet une branche parabolique de direction (ox)

3.Branche parabolique de direction asymptotique (oy)

alors la courbe 𝐶𝑓 de la fonction f admet une branche parabolique dans la direction de l’axe des ordonnés oy ( O , ) au voisinage de l’infini

Exemple :

f(x) = x2

donc 𝐶𝑓 admet une branche parabolique de direction (oy)

4.Branche parabolique de direction asymptotique y=ax

Alors la courbe 𝐶𝑓 de la fonction f admet une branche parabolique dans la direction de la droite d’équation y = ax  au voisinage de l’infini ±∞

Exemple :

Donc 𝐶𝑓 admet une branche parabolique de direction la droite d’équation y = 2au voisinage de +∞

Résumé des branches infinies

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AXES ET CENTRES DE SYMETRIES

Axe de symétrie :

La courbe représentative𝐶𝑓 de la fonction numérique dans un repère orthogonal admet la droite d’équation x = a comme axe de symétrie si et seulement si :  ∀ h∊ℝ tel que a + h et a – h appartiennent à  Df.

f(a + h) = f(a – h).

Centre de symétrie

La courbe représentative 𝐶𝑓 de de la fonction numérique admet le point Ω(a, b) comme  de symétrie si et seulement si ∀ h∊ℝ centre tel que a + h et a – h appartiennent à Df,
f(a + h) + f(a – h) = 2b. b est la moyenne de f(a + h) et de f(a – h).

f(a + h)+ f(a  h)2=b

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