Cours Probabilités – Terminale

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Voici le cours probabilités simple et précis pour les étudiants de : Terminale et Bac.

Expérience aléatoire

Univers, issues et événements

Aléatoire = imprévisible ; lié au hasard.

  • le lancer d’un dé est une expérience aléatoire, car on ne peut pas prévoir avec certitude quel en sera le résultat, puisque ce dernier est imprévisible « lié au hasard ».
  • le résultat d’une expérience aléatoire est appelé issue
  • L’ensemble formé de toutes les issues possibles de l’expérience aléatoire est appelé univers noté Ω (Oméga),
  • Un événement est une partie de l’univers, formée d’une ou de plusieurs issues possibles
  • Les sous-ensembles de l’univers Ω sont appelés événements.
  • Un événement élémentaire est une partie de l’univers Ω, formée d’une seule issue possible
  • On appelle événement impossible, un événement qui ne contient aucun des éléments de Ω. Il lui correspond la partie vide Ø de Ω.
  • On appelle, événement certain,  l’ensemble Ω de toutes les possibilités. Il lui correspond la partie pleine de Ω
  • On appelle,  événements incompatibles, deux parties disjointes de Ω

Exemple 1.

Lancer un dé à 6 faces et noter le chiffre apparent sur la face supérieure , il indiquera l’une des six issues suivantes : 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.

      • Il y a 6 issues possibles ;
      • L’univers de l’expérience est Ω={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } ;
      • A = « le résultat est pair » est un événement; A={2 ; 4 ; 6 } .
      • B =”le résultat est impair” est un événement: B = {1, 3, 5}.
      • C = « le résultat ≥ 6 » est un événement élémentaire C={6 } ensemble qui contient une seule issue.

Exemple 2.

  • Lancer une pièce de monnaie à 2 faces “Pile” ou “Face” et noter la face exposée, est une expérience aléatoire :
  • Il n’y a que 2 issues possibles
  • L’univers de l’expérience est Ω={P ; F } ;   A={P} et B={F } sont des événements élémentaires 

Exemple 3.

  • Dans une urne avec 1 boule blanche et deux boules noires,
  • – le tirage d’une boule : Ω = { B, N },
  • – le tirage successif de deux boules avec remise :Ω = { (B, B), (B, N), (N, B), (N, N)},
  • – le tirage successif de deux boules sans remise :   Ω = { (B, N), (N, B), (N, N) },

 

Opérations sur les événements

Intersection de deux événements.

On considère deux événements A et B , lintersection des événements A et B est un événement qui est noté A∩ B « A et B » qui est réalisé si et seulement si, A est réalisé et B est réalisé simultanément.

Exemple
on lance un dé à six faces on appelle :A l’évènement « obtenir un nombre impair »

  • B l’évènement « obtenir un nombre pair »
  • C l’évènement « obtenir un nombre ≥ 3
    • L’évènement A ={1 ;3 ;5}
    • L’évènement B = {2 ;4 ;6}
    • L’évènement C = {3 ;4 ;5 ;6}
    • L’évènement A∩C = {3 ;5}.
    • L’évènement B∩C = {4 ;6}.
    • L’évènement A∩B =Ø

Réunion de deux évènements

On appelle réunion des deux événements A et B noté A B, l’événement   « A ou B » qui est réalisé si et seulement si A est réalisé ou B est réalisé

Exemple

  • Reprenons l’expérience précédente :
    • L’évènement A ={1 ;3 ;5}
    • L’évènement B = {2 ;4 ;6}
    • L’évènement C = {3 ;4 ;5 ;6}
    • L’évènement A∪B = {1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6}.

Complémentaire

L’événement complémentaire de B , que l’on note \bar{B}  « non B » correspond à l’événement \bar{B} ={1, 3, 5}

 

Loi de probabilité

Définition

Dans une expérience aléatoire qui comporte un nombre fini d’issues appelé univers: Ω= {ω1 ; ω2 ; ω3 ; … ; ωn } est un ensemble fini 

On définit une loi de probabilité sur tel que:  pour tout i, 0 ≤ pi ≤ 1   pi est la probabilité élémentaire de l’événement  {ωi} et on note pi = P({ωi }) parfois plus simplement p(ωi).  

La somme des probabilités de tous les événements élémentaires :

Si  Ω= {ω1 ; ω2 ; ω3 ; … ; ωn } alors P(ω1 ) + P(ω2 ) + … + P(ωn ) = 1.

 

Équiprobabilité

Définition 

Dans une expérience aléatoire, il y a équiprobabilité si tous les événements élémentaires d’un univers ont la même probabilité d’être réalisés.

Théorème

S’il y a équiprobabilité pour une expérience dont l’univers Ω comporte un nombre total “n” événements élémentaires, alors la probabilité de chaque événement élémentaire est égale à \frac{1}{n}

Exemple

si on lance un dé , l’univers de l’expérience aléatoire est : 

Ω={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} ; les six faces ont exactement la même chance d’apparaître. 

Par conséquent, la probabilité de l’apparition de chaque face est de \frac{1}{6}

La loi de probabilité du lancer d’un dé équilibré est donnée par : pour tout ω∈ Ω   P({ω})=\frac{1}{6}

On écrit la loi de probabilité dans un tableau :

issues

1 2 3 4 5 6 Total

P({ω})

\frac{1}{6} \frac{1}{6} \frac{1}{6} \frac{1}{6} \frac{1}{6} \frac{1}{6} 1

P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1

 

Cardinal

Définition

Si A est un ensemble fini, on appelle cardinal de A le nombre d’éléments dans A , on note card(A)

Théorème

Si un évènement A de cet univers Ω comporte k évènement élémentaires alors P(A)= \frac{k}{n}
Puisque : card(A) = k        et    card (Ω)=n

La probabilité de l’événement A peut s’écrire de cette manière  :

  P(A)=\frac{Nombre d ' issues favorables}{Nombre d ' issues possibles}=\frac{card(A)}{card(\Omega Ω)}=\frac{k}{n}

 

Probabilité d’une réunion

Théorème

Dans une expérience aléatoire, on considère deux événements A et B.

  • Si A et B sont deux événements quelconques, alors :

P(AB) = P(A) + P(B) – P(A∩ B)

  • Si A et B sont incompatibles c’est-à-dire AB =Ø , alors :

P(A B) = P(A) + P(B)

 

Probabilité conditionnelle

Définition

On considère une expérience aléatoire, A et B sont deux événements avec p(A)≠0  La probabilité de B, sachant que A est réalisé, est notée PA(B)      P_{A}(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}

Exemple :

  • Dans un lycée, les 250 élèves (150 Filles, 100 garçons) qui étudient une seconde langue Allemand ou Espagnol : dont on connait 30 filles qui étudient la langue Allemand  
    • Calculer PF(A)
  • On considère les événements :
    • A :  « l’élève étudie l’Allemand »
    • F: «  l’élève est une fille ».

Utilisation du diagramme

P_{F}(A)=\frac{P(A\cap F)}{P(F)}

P(A\cap F)=\frac{30}{250}=\frac{3}{25}

P(F)=\frac{150}{250}=\frac{3}{5}

P_{F}(A)=\frac{P(A\cap F)}{P(F)}

P_{F}(A)=\frac{P(A\cap F)}{P(F)}=\frac{3}{25}\times \frac{5}{3}=\frac{1}{5}

Utilisation d’un arbre pondéré

Exemple :

P(\bar{F})=1-P(F)

P(\bar{F})=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}

Explication d’ un arbre pondéré

Propriétés :

  • La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égal  : P(A) + P(A) =1    
  • La probabilité d’une “feuille” « extrémité d’un chemin » est égale au produit des probabilités du chemin aboutissant à cette feuille :P(A)x PA(B)

 

Indépendance de deux événements

Deux événements    sont indépendants lorsque la probabilité de l’un ne dépend pas de la réalisation de l’autre, soit : PA(B)=P(B)

Deux événements  sont indépendants lorsque P(A∩B)= P(A)×P(B)

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