Lois de probabilité

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Bienvenue dans le cours de : Lois de probabilité pour le terminale. vous trouverez les exercices ( exemples ) corrigés à la fin du cours.

Variable aléatoire discrète

Définition

Lorsque l’on associe à chaque éventualité d’un univers Ω d’une expérience aléatoire un nombre réel, on dit que l’on définit une variable aléatoire sur Ω

La variable aléatoire X est à valeurs x1,x2, …, xn on dit que X est une variable aléatoire discrète

Exemple :

Une urne contient 6 boules jaunes, 3 boules Noirs et 1 boule blanche On prend une boule au hasard.

  • Si elle est blanche, on gagne 3 euros   :     B est l’événement “la boule est blanche “.
  • Si elle est Noire, on gagne 1euro    :             N est l’événement “la boule est Noir
  • Si elle est jaune, on ne gagne rien  :             J est l’événement “la boule est jaune “.

Couleur boule

B

N

J

X

3

1

0

On a l’univers Ω ={B, N, J} , et la variable X, appelée variable aléatoire, associée au nombre d’euro que l’on gagne, prend les valeurs 0 , 1 ou 3 : on note X(Ω) ={0 , 1 , 3}

Loi de probabilité de variable aléatoire

La probabilité de l’évènement « X = xi »  est la probabilité de l’évènement formé de toutes les issues associées au nombre xi

La donnée de toutes les probabilités P( X= xi )  est la loi de probabilité discrète de la variable aléatoire X :

xi

x1

x2

xn

TOTAL

P( X= xi )

p1

p2

   

pn

1

On reprend l’énoncé de l’exemple précédent :

  • La probabilité de gagner 3 euros , notée P( X= 3 ) = \frac{1}{10}
  • La probabilité de gagner 1euro, notée P( X= 1 ) = \frac{3}{10}
  • La probabilité de gagner 0 euro , notée P( X= 0 ) = \frac{6}{10}

On définit ainsi une loi de probabilité de la variable aléatoire X :

Valeurs de xi

0

1

3

P( X= xi )

0,6

0,3

0,1

P( X= 0 ) +P( X= 1 ) +P( X= 3 ) =1

Espérance mathématique d’une variable aléatoire

Définition :

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X qui suit une loi de probabilité est la moyenne :  E(X) = p1 × x1 + p2 × x2 + p3 × x3+…+pn×xn

On l’écrit aussi sous forme :  E(X)= \sum_{i=1}^{n}p_{i}\times x_{i}

L’espérance de cette loi de probabilité de l’exemple précédent est :

E(X) = 0.6 × 0 + 0.3 × 1 + 0.1 × 3=0.6

Variance et écart type d’une variable aléatoire discrète

La variance d’une variable aléatoire discrète X, notée V(X) est le nombre réel positif :         V(X)= \sum_{i=1}^{n}p_{i}\times \left (x _{i} \right-E(X) )^{2}

L’écart type est la racine carrée de la variance :     σ =\sqrt{V(X)}

  • Autre formule possible pour calculer la variance : V(X)= \sum_{i=1}^{n}p_{i}\times x _{i}^{2}-(E(X))^{2}

 

Loi binomiale

Épreuve de Bernoulli

Définition :

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : (« succès » ou « échec »)

Loi de Bernoulli

Définition

Une loi de Bernoulli est une loi de probabilité qui suit le schéma suivant :

  • la probabilité d’obtenir un succès est égale à p
  • la probabilité d’obtenir un échec est égale à q= 1 – p
      • p est appelé le paramètre de la loi de Bernoulli

Exemples :

On tire au hasard une boule d’une urne qui contient 10 boules, 3 sont blanches et 7 sont noires.

On considère comme succès « tirer une boule blanche » et échec « tirer une boule noire ».

la probabilité d’obtenir un succès est p= \frac{3}{10}  et la probabilité d’obtenir un échec est q= \frac{7}{10}  ( q=1-p)

  • Au succès, on peut associer le nombre 1
  • A l’échec on peut associer le nombre 0.

Pendant un tirage La variable aléatoire X « nombre de succès » peut prendre soit  :

  • X=1      si la boule tirée est blanche
  • X=0      si la boule tirée est noire

La loi de probabilité de X est :

xi

0

1

P( X= xi )

q= \frac{7}{10}

p= \frac{3}{10}

On dit que La variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre p

 

Schéma de Bernoulli

Définition :

Un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes pour lesquelles la probabilité du succès est p On considère un schéma de n épreuves de Bernoulli représentée par un arbre et k est un entier compris entre 0 et n.

L’entier \binom{n}{k} est le nombre de chemins de l’arbre réalisant k succès parmi n épreuve.

Exemple :

Une urne contient 10 boules : 6 rouges et 4 boules blanches. On prélève au hasard successivement, avec remise, 4 boules de l’urne. X désigne le nombre de boules rouges obtenues à l’issue des 3 tirages. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ?

Solution : Un tirage de 4 boules consiste en 3 épreuves, identiques et indépendantes (puisque les prélèvements sont avec remise). Chaque épreuve a deux issues possibles : « succès »  S : la boule est blanche avec la probabilité p=0.4 « échec » \bar{S} : la boule est rouge avec la probabilité q=0.6

La variable aléatoire X « nombre de succès » suit la loi B(n,p) de paramètres n =3  et p=0.4

La loi de probabilité de X est résumée dans le tableau:

xi

0

1

2

3

Total

P( X= xi )

1x0,40x0,63

3x0,41x0,62

3x0,42x0,61

1x0,43x0,60

1

  • X : la variable aléatoire qui donne le nombre de succès.
  • p :  la probabilité du succès
  • q=1-p probabilité de l’échec .

Alors X suit la loi binomiale de paramètres n et p et pour tout entier k compris entre 0 et n , on a : la formule générale:      P(X=k)=\binom{n}{k}\times p^{k}\times q^{n-k}

Le coefficient binomial \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}   est le nombre entier de chemins de l’arbre réalisant k succès parmi n

\binom{3}{0}=1  ;   \binom{3}{1}=3  ; \binom{3}{2}=3     \binom{3}{0}=1

Les coefficients binomiaux 1 3 3 1 indiquent le nombre de chemins de l’arbre réalisant k succès.

Exemple

  • On a mis dans une urne 100 boules : 25 bleues et 75 rouges.
    • On appelle succès l’évènement : « obtenir une boule bleue ».
    • Une partie de jeu consiste à tirer successivement 7 boules avec remise.
    • On appelle la variable aléatoire qui donne le nombre de boules bleues obtenues au cours d’une partie.
  1. Quelle est la loi de probabilité suivie par X  ?
  2. Quelle est la probabilité d’avoir 5 boules bleues ?

Solution :

  1.  Il y a  n=7 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, avec p=0,25  probabilité de succès  et q=0,75 probabilité d’échec  . Donc la variable aléatoire suit la loi binomiale B(7;0,25)
  2. P(X=5)=\binom{7}{5}\times 0,25^{5}\times 0,75^{2}

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