Référentiel et repère

Un référentiel est un objet par rapport auquel on étudie un mouvement. C’est dans ce référentiel que sera définit le repère d’espace utilisé pour suivre le mouvement  Le plus souvent, dans notre étude  c’est le repère  cartésien et orthonormé.

Les principaux référentiels:

Le référentiel terrestre : le solide de référence est un objet fixe à la surface de la Terre. (un point du sol et de trois axes, un axe vertical et deux axes dans le plan horizontal ). Ce référentiel est adapté à l’étude du mouvement d’un objet proche de la surface de la Terre.

 Le référentiel géocentrique : le solide de référence est le centre de la Terre les trois axes pointant vers des étoiles fixes suffisamment lointaines Ce référentiel est adapté à l’étude du mouvement des satellites en orbite autour de la Terre.

Le référentiel héliocentrique : le solide de référence est le centre du Soleil. les trois axes pointant vers des étoiles fixes suffisamment lointaines Il est adapté à l’étude des mouvement du système solaire ( comme celui des planètes

Les grandeurs de l’évolution

1- Le vecteur de position

Pour l’ étude du mouvement d’un corps nous étudions uniquement le mouvement du centre d’inertie G, parce qu’il  nous permet de connaître le mouvement global du corps.

On repère le point mobile G  d’un corps solide, dans un repère orthonormé R (𝑶, 𝒊⃗, 𝒋⃗, 𝒌⃗) lié au corps référentiel, à chaque instant, par le vecteur position :

$\overrightarrow{\mathbf{OG}}\mathbf{=}\mathit{x}\overrightarrow{\mathbf{i}}\mathbf{+}\mathit{y}\overrightarrow{\mathbf{j}}\mathbf{+}\mathit{z}\overrightarrow{\mathbf{k}}\mathbf{ }\mathbf{son}\mathbf{ }\mathbf{module}$ $\mathbf{\Vert }\overrightarrow{\mathbf{OG}}\mathbf{\Vert }\mathbf{=}\sqrt{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{z}}^{\mathbf{2}}}$

𝒙 et 𝒚 et 𝒛 sont les coordonnées cartésiennes du point mobile G dans le repère R .

2-Le vecteur vitesse

On définit le vecteur vitesse V comme la dérivée du vecteur de position en fonction du temps.

Le vecteur vitesse moyenne :

Pendant le déplacement d’un mobile du point G , vers le point G’, entre deux instants t et t’ par rapport à un référentiel donné, son vecteur vitesse moyenne entre ces deux instants est:

$\overrightarrow{{\mathbf{V}}_{\mathbf{M}}}\mathbf{=}\frac{\overrightarrow{\mathbf{G}\mathbf{G}\mathbf{‘}}}{\mathbf{t}\mathbf{‘}\mathbf{–}\mathbf{t}}\mathbf{=}\frac{\overrightarrow{\mathbf{O}\mathbf{G}\mathbf{‘}}\mathbf{–}\overrightarrow{\mathbf{O}\mathbf{G}\mathbf{‘}}}{\mathbf{t}\mathbf{‘}\mathbf{–}\mathbf{t}}$

Le vecteur vitesse instantanée :

On  détermine le vecteur vitesse instantanée du centre d’inertie G ’un corps solide mobile à l’instant t_i en déterminant  le vecteur vitesse moyenne du point G entre deux instants t_i-1 et t_i+1 très proches,  Cette méthode  est appelée méthode d’encadrement  ( l’instant  t_i est encadré par deux instants t_i+1 et t_i-1 très proches).

$\overrightarrow{{\mathbf{V}}_{\mathbf{G}}\mathbf{\left(}{\mathbf{t}}_{\mathbf{i}}\mathbf{\right)}}\mathbf{=}\frac{\overrightarrow{{\mathbf{G}}_{\mathbf{i}\mathbf{–}\mathbf{1}}{\mathbf{G}}_{\mathbf{i}\mathbf{+}\mathbf{1}}}}{{\mathbf{t}}_{\mathbf{i}\mathbf{+}\mathbf{1}}\mathbf{–}{\mathbf{t}}_{\mathbf{i}\mathbf{–}\mathbf{1}}}\mathbf{=}\frac{\overrightarrow{\mathbf{O}{\mathbf{G}}_{\mathbf{i}\mathbf{+}\mathbf{1}}\mathbf{–}\mathbf{O}{\mathbf{G}}_{\mathbf{i}\mathbf{–}\mathbf{1}}}}{{\mathbf{t}}_{\mathbf{i}\mathbf{+}\mathbf{1}}\mathbf{–}{\mathbf{t}}_{\mathbf{i}\mathbf{–}\mathbf{1}}}\mathbf{=}\frac{\overrightarrow{\mathbf{∆}\mathbf{O}\mathbf{G}}}{\mathbf{∆}\mathbf{t}}$

Pour obtenir la vitesse instantanée il faut que Δt→𝟎  alors, On montre mathématiquement que :

$\underset{\mathbf{∆}\mathbf{t}\mathbf{\to }\mathbf{}}{\mathbf{l}\mathbf{i}\mathbf{m}}\mathbf{\left(}\frac{\overrightarrow{\mathbf{∆}\mathbf{O}\mathbf{G}}}{\mathbf{∆}\mathbf{t}}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\frac{\overrightarrow{\mathbf{d}\mathbf{O}\mathbf{G}}}{\mathbf{d}\mathbf{t}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }$ $donc \overrightarrow{{\mathbf{V}}_{\mathbf{G}}\mathbf{\left(}{\mathbf{t}}_{\mathbf{i}}\mathbf{\right)}}\mathbf{=}\frac{\overrightarrow{\mathbf{d}\mathbf{O}\mathbf{G}}}{\mathbf{d}\mathbf{t}}$

Dans un référentiel donné, le vecteur vitesse instantanée du centre d’inertie G d’un corps solide est égal la dérivée par rapport au temps du vecteur position :

$\overrightarrow{{\mathbf{V}}_{\mathbf{G}}}\mathbf{=}\frac{\overrightarrow{\mathbf{dOG}}}{\mathbf{dt}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{s}\mathit{o}\mathit{n}\mathbf{ }\mathit{u}\mathit{n}\mathit{i}\mathit{t}\mathit{é}\mathbf{ }\mathit{d}\mathit{a}\mathit{n}\mathit{s}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{S}\mathbf{.}\mathbf{I}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathit{e}\mathit{s}\mathit{t}\mathbf{:}\mathbf{ }\mathit{m}{\mathit{s}}^{\mathbf{–}\mathbf{1}}$

Le vecteur vitesse instantanée dans un repère cartésien :

$\overrightarrow{\mathbf{OG}}\mathbf{=}\mathbf{x}\overrightarrow{\mathbf{i}}\mathbf{+}\mathbf{y}\overrightarrow{\mathbf{j}}\mathbf{+}\mathbf{z}\overrightarrow{\mathbf{k}}\mathbf{ }\mathbf{on}\mathbf{ }\mathbf{sait}\mathbf{ }\mathbf{que}\mathbf{ }\overrightarrow{{\mathbf{V}}_{\mathbf{G}}\mathbf{\left(}\mathbf{t}\mathbf{\right)}}\mathbf{=}\frac{\overrightarrow{\mathbf{dOG}}}{\mathbf{dt}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{dx}}{\mathbf{dt}}\overrightarrow{\mathbf{i}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{dy}}{\mathbf{dt}}\overrightarrow{\mathbf{j}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{dz}}{\mathbf{dt}}\overrightarrow{\mathbf{k}}$

Soient 𝐕_𝒙 et 𝐕_𝒚 et 𝐕_𝒛    les coordonnées cartésiennes du vecteur vitesse

$\mathbf{ }\overrightarrow{\mathbf{V}\mathbf{\left(}\mathbf{t}\mathbf{\right)}}\mathbf{ }\mathbf{=}{\mathit{V}}_{\mathbf{x}}\overrightarrow{\mathbf{i}}\mathbf{+}{\mathit{V}}_{\mathbf{y}}\overrightarrow{\mathbf{j}}\mathbf{+}{\mathit{V}}_{\mathbf{z}}\overrightarrow{\mathbf{k}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{d}\mathit{o}\mathit{n}\mathit{c}\mathbf{ }{\mathbf{V}}_{\mathbf{x}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{dx}}{\mathbf{dt}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{e}\mathit{t}\mathbf{ }{\mathit{V}}_{\mathbf{y}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{dy}}{\mathbf{dt}}\mathbf{ }\mathit{e}\mathit{t}\mathbf{ }{\mathit{V}}_{\mathbf{z}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{dz}}{\mathbf{dt}}$

3-Le vecteur accélération :

on définit le vecteur-accélération 𝒂⃗_G  en utilisant la relation d’encadrement approchée ( l’instant  t_i est encadré par deux instants t_i+1 et t_i-1 très proches).

$\overrightarrow{{\mathbf{a}}_{\mathbf{G}}}\mathbf{\left(}{\mathit{t}}_{\mathbf{i}}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\frac{\overrightarrow{\mathbf{V}}\mathbf{\left(}{\mathbf{t}}_{\mathbf{i}\mathbf{+}\mathbf{1}}\mathbf{\right)}\mathbf{–}\overrightarrow{\mathbf{V}}\mathbf{\left(}{\mathbf{t}}_{\mathbf{i}\mathbf{–}\mathbf{1}}\mathbf{\right)}}{{\mathbf{t}}_{\mathbf{i}\mathbf{+}\mathbf{1}}\mathbf{–}{\mathbf{t}}_{\mathbf{i}\mathbf{–}\mathbf{1}}}\mathbf{=}\frac{\overrightarrow{\mathbf{∆}{\mathbf{V}}_{\mathbf{G}}}}{\mathbf{∆}\mathbf{t}}$

  Mathématiquement, on exprime le vecteur accélération par la relation

$\overrightarrow{{\mathbf{a}}_{\mathbf{G}}}\mathbf{\left(}{\mathbf{t}}_{\mathbf{i}}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\underset{\mathbf{∆}\mathbf{t}\mathbf{\to }\mathbf{}}{\mathbf{lim}}\mathbf{\left(}\frac{\overrightarrow{\mathbf{∆}{\mathbf{V}}_{\mathbf{G}}}}{\mathbf{∆}\mathbf{t}}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\frac{\overrightarrow{{\mathbf{dV}}_{\mathbf{G}}}}{\mathbf{dt}}$

Enfin on définit que dans un référentiel donné,  le vecteur accélération du centre d’inertie G d’un corps solide à l’instant t est égal la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse au même instant :

$\overrightarrow{{\mathbf{a}}_{\mathbf{G}}}\mathbf{=}\frac{\overrightarrow{{\mathbf{dV}}_{\mathbf{G}}}}{\mathbf{dt}}\mathbf{ } \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }$ $\overrightarrow{{\mathbf{a}}_{\mathbf{G}}}\mathbf{=}\frac{\overrightarrow{{\mathbf{dV}}_{\mathbf{G}}}}{\mathbf{dt}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{d}}{\mathbf{dt}}\mathbf{\left(}\frac{\overrightarrow{\mathbf{dOG}}}{\mathbf{dt}}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{d}}^{\mathbf{2}}\overrightarrow{\mathbf{OG}}}{{\mathbf{dt}}^{\mathbf{2}}}$

Le vecteur accélération dans un repère cartésien :

$\overrightarrow{{\mathbf{a}}_{\mathbf{G}}}\mathbf{=}\frac{\overrightarrow{{\mathbf{dV}}_{\mathbf{G}}}}{\mathbf{dt}}\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{{\mathbf{d}}^{\mathbf{2}}\overrightarrow{\mathbf{OG}}}{{\mathbf{dt}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{ }\mathbf{=}\frac{{\mathbf{dV}}_{\mathbf{x}}}{\mathbf{dt}}\overrightarrow{\mathbf{i}}\mathbf{+}\frac{{\mathbf{dV}}_{\mathbf{y}}}{\mathbf{dt}}\overrightarrow{\mathbf{j}}\mathbf{+}\frac{{\mathbf{dV}}_{\mathbf{z}}}{\mathbf{dt}}\overrightarrow{\mathbf{k}}\mathbf{ }\mathbf{=}\frac{{\mathbf{d}}^{\mathbf{2}}\mathbf{x}}{{\mathbf{dt}}^{\mathbf{2}}}\overrightarrow{\mathbf{i}}\mathbf{+}\frac{{\mathbf{d}}^{\mathbf{2}}\mathbf{y}}{{\mathbf{dt}}^{\mathbf{2}}}\overrightarrow{\mathbf{j}}\mathbf{+}\frac{{\mathbf{d}}^{\mathbf{2}}\mathbf{z}}{{\mathbf{dt}}^{\mathbf{2}}}\overrightarrow{\mathbf{k}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }$ $\mathit{s}\mathit{a}\mathit{c}\mathit{h}\mathit{o}\mathit{n}\mathit{s}\mathbf{ }\mathit{q}\mathit{u}\mathit{e}\mathbf{:}\mathbf{ }\mathbf{ }\overrightarrow{{\mathbf{a}}_{\mathbf{G}}}\mathbf{=}{\mathit{a}}_{\mathbf{x}}\overrightarrow{\mathbf{i}}\mathbf{+}{\mathit{a}}_{\mathbf{y}}\overrightarrow{\mathbf{j}}\mathbf{+}{\mathit{a}}_{\mathbf{z}}\overrightarrow{\mathbf{k}}$

𝒂_𝒙 et 𝒂_𝒚 et 𝒂_𝒛  sont les coordonnées cartésiennes du vecteur accélération 𝒂⃗_𝑮 .

$\mathit{d}\mathit{o}\mathit{n}\mathit{c}\mathbf{ }{\mathit{a}}_{\mathbf{x}}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{dV}}_{\mathbf{x}}}{\mathbf{dt}}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{d}}^{\mathbf{2}}\mathbf{x}}{{\mathbf{dt}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{e}\mathit{t}\mathbf{ }{\mathit{a}}_{\mathbf{y}}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{dV}}_{\mathbf{y}}}{\mathbf{dt}}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{d}}^{\mathbf{2}}\mathbf{y}}{{\mathbf{dt}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{e}\mathit{t}\mathbf{ }{\mathit{a}}_{\mathbf{z}}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{dV}}_{\mathbf{z}}}{\mathbf{dt}}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{d}}^{\mathbf{2}}\mathbf{z}}{{\mathbf{dt}}^{\mathbf{2}}}$

Le vecteur accélération dans la base de Frenet

La base de Frenet (G , 𝒖⃗ , 𝒏⃗ )est un repère a pour origine le centre de gravité du   mobile; et ses vecteurs unitaires sont :

• 𝒖⃗ : vecteur orienté selon la tangente à la trajectoire et orienté dans   le même sens que le mouvement .
• 𝒏⃗ : vecteur orienté normal à la trajectoire (perpendiculaire à𝒖⃗ ) et orienté vers l’intérieure de la concavité de la trajectoire.

on exprime le vecteur accélération 𝒂⃗_G dans le repère de Frenet, pour un mouvement curviligne comme suit : 𝒂⃗_G = 𝒂⃗_T+𝒂⃗_N

• 𝒂⃗_T=a_T.𝒖⃗ est le vecteur accélération tangentielle  a_T=𝒅𝑽/𝒅𝒕
• 𝒂⃗_N=a_N.𝒏⃗ est le vecteur accélération normale a_N=V_G²/ρ  avec 𝝆 le rayon de courbure de la trajectoire à la positionG .

Première loi de Newton ou principe d’inertie

Dans un référentiel Galiléen , si la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un corps solide est nulle

$\mathbf{ }\underset{}{\overset{}{ \sum }}\mathbf{ }{\overrightarrow{\mathbf{F}}}_{\mathbf{ext}}\mathbf{ }\mathbf{=}\overrightarrow{\mathbf{}}$

alors le vecteur vitesse 𝑽⃗_𝑮 de son centre inertie G du solide reste constant:c-à-d que G est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme . Réciproquement , si le vecteur vitesse 𝑽⃗_𝑮 de centre d’inertie d’un solide reste constant , la somme des forces qui s’exercent sur le solide est nulle

$\underset{}{\overset{}{\mathbf{ }\mathbf{\sum }}}\mathbf{ }{\overrightarrow{\mathbf{F}}}_{\mathbf{e}\mathbf{x}\mathbf{t}}\mathbf{ }\mathbf{=}\overrightarrow{\mathbf{}}\mathbf{ }\mathbf{\iff }{\overrightarrow{\mathbf{V}}}_{\mathbf{G}}\mathbf{=}\overrightarrow{\mathbf{c}\mathbf{t}\mathbf{e}}$

Remarque : le repère Galiléen est un repère dans lequel le principe d’inertie est vérifié

La deuxième loi de Newton:

La force extérieure appliquée à un corps solide est un agent du changement pour le mouvement. C’est-à-dire elle modifie le vecteur vitesse v (module et /ou direction de vecteur). Donc dans un référentiel Galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un corps solide est égale au produit de sa masse 𝒎 et du vecteur accélération  𝒂⃗_G     

$\underset{}{\overset{}{\mathbf{ }\mathbf{\sum }}}\mathbf{ }{\overrightarrow{\mathbf{F}}}_{\mathbf{e}\mathbf{x}\mathbf{t}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathit{m}{\overrightarrow{\mathbf{a}}}_{\mathbf{G}}\mathbf{ }$

Troisième loi de Newton

Énoncé de la loi : le principe d’interaction mutuelles

Lorsqu’on a deux corps A et B en interaction, ils exercent l’un sur l’autre des forces qui sont égales et opposées entre elles

${\overrightarrow{\mathbf{F}}}_{\mathbf{A}\mathbf{/}\mathbf{B}}\mathbf{=}\mathbf{–}{\overrightarrow{\mathbf{F}}}_{\mathbf{B}\mathbf{/}\mathbf{A}}$

Quelque soit l’état des  deux corps : soient en mouvement ou en repos.