Systèmes mécaniques oscillants

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Présentation des systèmes oscillants

Un oscillateur mécanique est un système  qui effectue un mouvement de va et vient autour  de sa position d’équilibre.

Pendule pesant :

Un pendule pesant est un solide   oscillant en rotation autour d’un axe fixe (Δ) horizontal ne passant pas par son centre de gravité G.

exemples : balançoire, balancier d’une horloge

Pendule simple

Un pendule simple est  constitué d’un solide ponctuel de masse m accrochant   à l’extrémité d’un fil inextensible de longueur l et de masse négligeable devant m.

Le pendule simple constitue un cas particulier du pendule pesant.

Pendule de torsion

Un pendule de torsion est un dispositif constitué d’une barre horizontale tel que son centre d’inertie est attaché à l’extrémité d’un fil métallique vertical, l’autre extrémité est maintenue fixe à un support.

Pendule élastique 

Un pendule élastique est un système (ressort-solide )

Il est constitué d’un ressort de constante de raideur k   fixe d’une des extrémités sur un support, l’autre extrémité est  reliée à un solide  de masse m ses spires ne sont pas jointives et sa masse est  négligeable devant la masse du solide

Caractéristiques des mouvements oscillants

Un oscillateur écarté de sa position d’équilibre, il oscille autour de cette position d’équilibre.

Il est dit libre lorsqu’il n’est soumis à aucun apport d’énergie extérieure.

La position du centre d’inertie des pendules pesant, simple et de torsion est repérée par l’abscisse angulaire,  pour un pendule élastique, il  est repéré par  l’abscisse  cartésien x (translations rectilignes).

 

Grandeurs physiques caractérisant un oscillateur

L’amplitude

L’amplitude du mouvement d’un oscillateur libre et non amorti  est l’écart maximum  positif  par rapport à la position d’équilibre stable. 

 L’amplitude  θmax est l’angle maximale en (rad)  pour « Pendule pesant, simple et de torsion »

L’ abscisse angulaire θ varie périodiquement entre une valeur minimale –θm et une valeur maximale+θm

L’amplitude xmax  est l’allongement maximal d’un ressort en (m)

 – Pour « Pendule élastique » : L’abscisse  cartésien  varie périodiquement entre une valeur minimale -xm et une valeur maximale+xm

L’amplitude du oscillations libres et non amorties reste constante.

La période propre  

La période  d’un oscillateur libre et non amorti est la durée qui s’écoule entre deux passages successifs de l’oscillateur par sa position d’équilibre stable dans le même sens. Son unité dans SI est la seconde (s).

Les oscillations d’un oscillateur mécanique libre et non amorti sont dites périodiques.

Amortissement des oscillations

Phénomène d’amortissement

 Lorsqu’on écarte un oscillateur mécanique de sa position d’équilibre stable,  l’amplitude du mouvement diminue jusqu’à l’arrêt du mouvement.On dit que les oscillations s’amortissent progressivement, l’oscillateur est amorti.

Il existe deux types de frottements :

+ Frottement solide : a lieu entre l’oscillateur et un solide «l’amplitude diminue linéairement avec le temps »

+ Frottement fluide: se produit entre l’oscillateur et un fluide (liquide ou gaz) « l’amplitude diminue exponentiellement avec le temps »

Régimes d’amortissement

En absence des frottements: on a un  régime sinusoïdal périodique

 En cas des faibles frottements, l’amortissement est faible: on a un régime pseudo-périodique

En cas des frottements est très fort , l’amortissement est important, il n’y a plus du tout d’oscillations : on a un régime apériodique.

 Étude du pendule élastique horizontal

Le solide de masse m attaché à l’une des extrémités d’un ressort  posée sur un support plan horizontal, l’autre extrémité du ressort est fixé à un support fixe.

Voir aussi:  Modulation et Démodulation d’amplitude

Les frottements sont considérés comme négligeables.

Pour faire l’étude du centre d’inertie G du solide S on choisit un repère Galiléen l’axe (O ; )

Au repos  Le centre d’inertie G du solide S est en O pris comme l’origine de l’axe (Ox )

On repère la position du centre d’inertie G , à chaque instant  par l’abscisse cartésienne x(t)

Force de rappel exercée par un ressort

On écarte le solide de sa position d’équilibre, et on le relâche sans vitesse initiale .

Au repos :  la longueur  de ressort est

le ressort écarte ou comprimé  : la longueur  de ressort devient , l’allongement  du ressort est alors: Δl = ℓ−ℓ =x

En effet  le ressort exerce alors une force de rappel proportionnelle à son allongement.

k :Le coefficient de proportionnalité appelé constante de raideur du ressort, (N.m-1).

Si le ressort est comprimé, l’allongement x=ℓ−ℓ est négatif, alors la force =−k(ℓ−ℓ)=−kx  est dirigé dans le sens de l’axe Ox.

Si le ressort est étiré, l’allongement  x=ℓ−ℓ  est positif, alors la force =−k(ℓ−ℓ)=−kx  est dirigé dans le sens inverse de l’axe Ox.

Équation différentielle

Système : le solide accroché au ressort.
Référentiel : terrestre supposé galiléen
– Bilan des forces : : Poids : réaction normale au plan :  force de rappel du ressort

On applique la deuxième loi de Newton

Par projection sur l’axe Ox on trouve:

Donc l’équation différentielle s’écrit:

Solution de l’équation différentielle

La solution de cette équation différentielle est de la forme :

  • Xm : amplitude des oscillations,  positive en m.
  • T : période propre des oscillations en s.
  •  φ : représente la phase à l’origine des dates en radian.

Expression de la période propre T

On dérive deux fois x(t) par rapport au temps t :

D’après l’équation différentielle: et l’expression calculée

alors

Étude d’un pendule pesant

On considère un pendule pesant constitué d’une tige homogène de masse m qui peut tourner autour d’un axe horizontal (Δ), son moment d’inertie par rapport à (Δ) est JΔ.

On écarte la tige de sa position d’équilibre d’un angle θm , puis on la libère sans vitesse initiale, elle effectue un mouvement de va-et-vient.

Les frottements sont supposés négligeables.

On repère la position du pendule par l’abscisse angulaire θ que fait la tige avec la verticale.

Équation différentielle du mouvement

Système étudié : tige solide

Référentiel : référentiel terrestre supposé Galiléen.

Bilan des forces :: le poids du système : force exercée par l’axe (Δ) sur (S) ;

Application de la relation fondamentale de la dynamique :

Puisque  la droite d’action de coupe l’axe (Δ) donc

Donc l’équation différentielle s’écrit:

Dans le cas général Le mouvement du pendule pesant  est de rotation oscillatoire non sinusoïdale

Pour des faibles oscillations (θ ⩽ 0;26rad)  on peut écrire sinθ ≈θ , d’où l’équation différentielle :

Le mouvement du pendule pesant dans le cas de faibles oscillations est de rotation sinusoïdale

Solution de l’équation différentielle

La solution de cette équation différentielle est de la forme :

  • θm : amplitude des oscillations, une grandeur positive en (rad).
  • T : la période propre des oscillations en (s).
  • φ : la phase à l’origine des dates en radian.

Expression de la période propre T

On dérive deux fois l’expression θ(t) par rapport au temps t :

D’après l’équation différentielle:    et l’expression calculée  

Voir aussi:  Transformations Forcées : L'électrolyse

  alors

Étude du Pendule simple

 Équation différentielle

Le pendule élastique est un cas particulier du pendule pesant ; avec et

l’équation différentielle s’écrit :

d’où:

Dans le cas des oscillations de faibles amplitudes , l’équation différentielle s’écrit :

La solution de cette équation différentielle est de la forme :

L’expression de la période propre du pendule simple est :

Étude du Pendule de torsion

Couple de rappel exercé par le fil de torsion

Lorsqu’on applique un couple de forces à la tige d’un pendule de torsion , le fil se tord , celui-ci réagit à la torsion en exerçant des forces de rappel équivalentes à un couple de torsion dont le moment par rapport à l’axe Δ a pour expression: MΔ , couple= −C θ .

  • C : la constante de torsion du fil (N.m/rad)
  • θ : angle de torsion (rad)
  • M : moment du couple de torsion (N.m)

Équation différentielle

On écarte de sa position d’équilibre, d’un angle θm , et on la lâche sans vitesse initiale.

On néglige tous les frottements.

Le système composé du « fil métallique +tige » effectue des oscillations libres autour de sa position d’équilibre.

Soit JΔ le moment d’inertie de la tige par rapport à l’axe de rotation Δ

On étudie le mouvement dans le référentiel terrestre considéré Galiléen

Les positions  de la tige  sont repérés à chaque instant par l’abscisse angulaire θ (t)

La tige est soumise à deux forces et au couple de torsion MC= −C θ.

D’après la relation fondamentale de la dynamique:

Puisque et coupent l’axe de rotation , donc:

D’où:

Donc l’équation différentielle s’écrit::

Solution de l’équation différentielle

La solution de cette équation différentielle est de la forme :

  • θm : représente l’amplitude des oscillations, une grandeur positive en (rad)
  • .T : représente la période propre des oscillations en (s)
  • .φ : représente la phase à l’origine des dates en radian

Expression de la période propre T

On dérive deux fois l’expression θ(t) par rapport au temps t :

D’après l’équation différentielle: et l’expression calculée   

alors

Oscillation forcée et résonance

Définition

Un système oscillant, appelé  résonateur  oscille naturellement à sa fréquence propre  fo = 1 / To , s’il oscille à la fréquence f imposée par un excitateur, on dit qu’il subit des oscillations forcées.

 Expérience :

Une  des extrémités d’un pendule élastique attaché à un solide (S)  immergeant dans l’eau, l’autre extrémité du pendule élastique est accrochée à un fil passant par la gorge d’une poulie et fixé à un disque tournant  

Au moment où le disque tourne, le pendule élastique effectue des oscillations forcées à la fréquence f imposée par le disque.

Lorsqu’on  augmente lentement la fréquence f  de l’excitateur   on observe  que:

  • L’amplitude des oscillations du pendule élastique dépend de la fréquence f de l’excitateur.
  • L’amplitude est maximale quand la  fréquence f de l’excitateur est proche de la fréquence propre f (f f) On dit que le résonateur entre en résonance.

Conclusions

Lorsqu’un  système oscillant  est excité à une fréquence voisine de sa fréquence propre f : La résonance se manifeste, l’amplitude des oscillations est maximale

Influence de l’amortissement sur la résonance :

Pour un amortissement faible  du résonateur, l’amplitude des oscillations forcées à la résonance prend une valeur grande ; on dit que la résonance est aigüe.

Pour un amortissement important du résonateur, l’amplitude des oscillations prend une valeur faible, on dit que la résonance est floue.

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