Le Dipôle RC : Cours Simple et Précis

Voici un cours complet : le dipôle RC pour le terminale Français.

Table des matières

Le comportement d’un condensateur dans un circuit électrique

1) La charge électrique sur les armatures

Activité 1

On réalise un circuit qui comporte :

Un condensateur, un générateur de tension continue, un interrupteur, une lampe des appareils de mesure : « voltmètre et ampèremètre »

Qu’observez-vous à la fermeture de l’interrupteur k ?

Observation

A la fermeture de l’interrupteur k, on constate que :

La lampe s’allume immédiatement et s’éteint très rapidement.
Apparition d’un courant maximal dans le circuit
Le voltmètre indique une augmentation de la tension entre les deux armatures A et B du condensateur alors que l’ampèremètre montre une diminution d’intensité,
En fin la tension aux bornes du condensateur atteint E « tension au borne du générateur » alors que l’intensité s’annule.
La tension entre les armatures persiste sur la valeur E.

Interprétation

Le passage du courant est du à un déplacement d’électrons dans le circuit.

Dans notre circuit, l’intensité du courant circule en direction de l’armature A depuis le générateur ; alors que les électrons circulent en sens inverse, vers l’armature B.

Donc au cours de cette charge, Les électrons quittent l’armature A et se charge positivement q_A > 0 tandis que l’armature B fixe Les électrons et se charge négativement: q_B < 0

A chaque instant, q_A = – q_B Ces charges s’expriment en coulomb (C).

Puisque la charge électrique se conserve donc les armatures A et B portent des charges électriques opposées, de même valeurs absolues à chaque instant.

La tension électrique qui apparaît entre les armatures et qui persiste montre que le condensateur est chargé.

Conclusion

Un condensateur, branché à un générateur de tension continue, accumule sur ses armatures des charges électriques de même valeur, mais de signes opposés.

2)Relation entre Charge électrique et intensité

Cherchons la relation entre l’intensité i et les charges électriques q_A et q_B

Dans notre circuit i > 0 l’intensité du courant qui circule en extérieur du générateur (+) en direction de A;

Durant un temps dt , l’armature A perd des électrons alors que l’armature B les reçoit ceci implique que :

Entre les instants t et t+dt, q_A augmente de : dq_A = q_A(t+dt) – q_A(t) >0

dq_A = – dq_B = dq

q_A(t) , q_B(t) sont des fonction du temps en régime transitoire.

Par définition, l’intensité i du courant est le débit de charge électrique, circulant dans le circuit par unité de temps et par section unité

Donc i =dq/dt= dq_A /dt= – dq_B /dt

L’intensité i s’exprime en ampère (A) , avec q en coulomb (C) et t en seconde (s) .

3) La capacité d’un condensateur

On Charge un condensateur avec un courant continu I débité par un générateur de courant.

Comment évolue la tension U_AB aux bornes des armatures A et B du condensateur en fonction de la charge électriques des armatures q_A?

Étude expérimentale

On réalise le montage avec un générateur de courant continu fixé à une intensité constante

I = 100μA.

Le condensateur est déchargé.

On ferme l’interrupteur en même temps que le déclenchement du chronomètre.

On mesure la tension u_AB au bornes du condensateur chaque 10 secondes.

Voir aussi: Transformations Spontanées Dans Les Piles et Production D'énergie

On enregistre les résultats dans le tableau suivant :

t (s)	0	10	20	30	40	50
u_AB (V)	0	0,5	1,00	1,5	2,5	8,41
q (μC)

Puisque l’intensité est constante et égale à I=100μA d’où la relation :

La charge du condensateur est : q_A = I × t + q

Le condensateur est initialement déchargé alors q₀=0 donc q_A = I × t

on complète le tableau ci-dessous en calculant la charge par la relation : q_A = I × t

t (s)	10	20	30	40	50
u_AB (V)	0,5	1,00	1,5	2,5	8,41
q_A (μC)	1	2	3	4	5

On représente la courbe q_A = f (u_AB)

La courbe q_A = f (u_AB) est une droite linéaire

Donc : q_A(t) = C × u_AB(t)

Le coefficient de proportionnalité positif C est la capacité du condensateur.

La charge électrique q_A de l’armature A du condensateur est proportionnelles à la tension u_AB aux bornes de ses armatures A et B à chaque instant: q_A(t) = C × u_AB(t)

C :capacité du condensateur; exprime en farad (F), avec q_A en coulomb et u_AB en volt (V).

Association des condensateurs

Association en parallèle

Condensateurs en parallèle : plusieurs condensateurs en parallèle se comportent comme un unique condensateur de capacité équivalente à C_éq telle que :

C_éq=C₁ +C₂+……. C_n

Pour deux condensateurs C1 et C2 en parallèle :

C_éq=C₁ +C₂

Condensateurs en série : plusieurs condensateurs en série se comportent comme un unique condensateur de capacité équivalente à C_éq telle que :

Pour deux condensateurs C1 et C2 en série :

La réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension

Etude expérimentale

L’étude de l’évolution de la charge électrique du condensateur lorsque la tension entre les bornes d’un dipôle RC passe de 0 à une valeur constante E; appelée un échelon de tension.

Activité 3

Réaliser le montage suivant :

Les voies Y₁ et Y₂ sont branchées sur un oscilloscope à mémoire
Mettre l’interrupteur sur la position 2
Vos observations sur les tensions u_{DB ,}u_DBetu_AB ?

Observation

Sur la voie Y₁ la tension u_DB est passée instantanément d’une valeur 0 à une valeur constante égale à E

Sur la voie Y₂ la tension u_AB aux bornes du condensateur augmente progressivement de la valeur nulle jusqu’à la valeur maximale égale à E après un retard temporel.

la tension u_AB décrit l’évolution de la charge du condensateur q_A = C . u_AB

Entre les voies Y₁etY₂tension aux bornes du conducteur ohmique:

u_DA =u_DB – u_AB = R. i la tension est proportionnelle à l’intensité i

D’après la courbe, l’intensité i du courant est égale à zéro avant la fermeture de l’interrupteur, après la fermeture de l’interrupteur l’intensité i est égal à E/R. cette intensité décroit ensuite jusqu’à zéro.

Conclusion

Le condensateur d’un dipôle RC , soumis à un échelon de tension, se charge progressivement avec un retard temporel, donc la charge d’un condensateur est un phénomène transitoire.

2) La constante de temps

Selon le dipôle RC choisi, la tension U_AB aux bornes des armatures tend plus ou moins rapidement vers sa valeur limite E. de même q_A = C . U_AB

Quels sont les paramètres influents sur le phénomène de charge?

Si on associe une résistance plus grande à notre circuit : le condensateur se charge plus lentement

Voir aussi: Les Ondes Mécaniques Progressives : Cours Précis

De même Si on associe une un condensateur de plus grande capacité : le condensateur se charge plus lentement.

La durée de charge du condensateur d’un dipôle RC augmente quand la valeur du produit R.C augmente.

Analyse dimensionnelle du produit R.C en raisonnant sur les unités :

R = U/I s’exprime en Ohm , équivalent à V/A;

C = Q/U = I.t / U s’exprime en Farad (F) équivalent à A.s /V

En fin : R.C s’exprime en V/A.A.s/V, soit en seconde (s).

Le produit τ = R.C , est la constante de temps du dipôle s’exprime en seconde (s), R en Ohm et C en farad (F).

3) étude théorique

Le condensateur est orienté de l’armature A vers l’armature B,

Pour simplifier les notations :

Pour la charge du condensateur q_A = q la tension U_AB = U_C

Tension au borne de la résistance R U_DA = U_R

Reprenons le circuit électrique précèdent plus simplifié utilisé lors de l’étude de la charge du condensateur:

On applique la loi d’additivité des tensions:

E = u_C +u_R

E = R . i + u_C avec la loi d’Ohm : u_R = Ri

Solution de l’équation différentielle

On montre, en mathématique, que la solution de cette équation est:

u_c = Ae^-mt+B

A, B et m sont des constantes.

Détermination de A , B et m

1^ère étape conditions initiales à t=0 Le condensateur est vide donc u_C (0) = 0.

u_C (0) =Ae+B=0 <=> A+B =0 donc B =- A d’où u_C = Ae^-mt-A

2^ème étape à t → +∞ le condensateur est complètement chargé : u_C (+∞) = E.

u_C (+∞)= Ae^-∞-A =E <=> -A= E d’où A=-E Donc u_C = E – E e^-mt

3^ème étape

τ est appelée constante de temps du dipôle RC.

Au moment où l’on ferme l’interrupteur, la tension aux bornes du condensateur est nulle (à t = 0 on a u_C (0) = 0) et il s’établit un courant i=E/R

En régime permanent, à t > 5τ 0 ( t → +∞ on a u_C(+∞) =E) le condensateur est chargé donc pas de mouvement de charges et i=0,

u_C(5τ) = E(1-e^-5) =0,99E

Détermination de la constante du temps τ = RC

1^ère méthode

On utilise la solution de l’équation différentielle :

u_C(τ) = E(1-e^-1) =0,63E

τ est l’abscisse qui correspond à l’ordonnée 0,63E

2^ème méthode :

utilisation de la tangente à la courbe à l’instant t=0 .

Expression de l’intensité du courant de charge

La décharge d’un condensateur à travers une résistance

à t=0 le condensateur est chargé, uc(0)=E, on ferme l’interrupteur K.

d’après la loi des mailles : u_R + uc = 0 avec u_R =Ri

Solution de l’équation différentielle

u_c = Ae^-mt+B

A, B et m sont des constantes. Déterminons A , B et m

1^ère étape :

2^ème étape :

à t=0 état où le condensateur est chargé . u_C (0) = E

u_C (0) = Ae⁰= E d’où A= E

donc la solution de l’équation différentielle s’écrit : u_C = E e^{-t /τ}

à t= τ u_C(τ) = E e^-1=0,37E

A l’instant où l’on bascule l’interrupteur (à t = 0) la tension aux bornes du condensateur

vaut u_C (0) = E et il s’établit un courant i=E/R et quand t → +∞ on a u_C = 0 , pratiquement on considère : t > 5 τ on a u_C(+∞) =0 le condensateur est déchargé et plus de mouvement de charges donc la tension et l’intensité s’éteignent.