Le Dipôle RC3 : Cours Simple et Précis

le dipole RC3 electrique

Le comportement d’un condensateur dans un circuit électrique

1) La charge électrique sur les armatures

Activité 1

On réalise  un  circuit qui comporte :

Un condensateur, un générateur de tension continue, un interrupteur, une lampe des appareils de mesure : « voltmètre et ampèremètre »

Qu’observez-vous  à la fermeture de l’interrupteur  k ?

Observation

A la fermeture de l’interrupteur k, on constate que :

  • La lampe s’allume immédiatement et s’éteint  très rapidement.
  • Apparition d’un courant maximal dans le circuit
  • Le voltmètre indique une augmentation de la tension entre les deux armatures A et B du condensateur alors que  l’ampèremètre montre une  diminution d’intensité,
  • En fin la tension aux bornes du condensateur atteint E « tension au borne du générateur »    alors que  l’intensité  s’annule.
  • La  tension  entre les armatures   persiste sur la valeur E.

Interprétation

Le passage du courant est du  à un déplacement d’électrons dans le circuit.

Dans notre circuit, l’intensité du courant circule en direction de l’armature A  depuis le générateur ; alors que les électrons circulent en sens inverse, vers l’armature B.

Donc  au cours de cette charge,  Les électrons quittent l’armature A et se charge positivement  qA > 0  tandis que l’armature B fixe Les électrons et se charge négativement: qB < 0

A chaque instant,   qA = – qB   Ces charges s’expriment en coulomb (C).

   Puisque la charge électrique se conserve  donc les armatures A et B portent des charges électriques opposées, de même valeurs absolues à chaque instant.

La  tension électrique qui apparaît entre les armatures et qui persiste montre que  le condensateur  est  chargé.

Conclusion

Un condensateur, branché à un générateur de tension continue, accumule sur ses armatures des charges électriques de même valeur, mais de signes opposés.

2)Relation entre  Charge électrique et intensité

  • Cherchons  la relation entre l’intensité i et les charges électriques qA et qB

Dans notre  circuit  i > 0 l’intensité du courant qui circule en extérieur du  générateur   (+)   en direction de A;

Durant  un temps dt , l’armature A perd des électrons alors que l’armature B les reçoit ceci implique que :

Entre les instants t et t+dt,  q augmente  de : dqA = qA(t+dt) – qA(t) >0

dqA = dqB = dq

 qA(t)   , qB(t)  sont des fonction du temps en régime transitoire.

Par définition, l’intensité i du courant est le débit de charge électrique, circulant dans le circuit par unité de temps et par section unité

Donc   i =dq/dt= dqA /dt= dqB /dt

L’intensité i s’exprime en ampère (A) , avec q en coulomb (C) et t en seconde (s) .

3) La capacité d’un condensateur

On Charge  un condensateur avec un courant continu I débité par un générateur de courant.

 Comment évolue la tension UAB aux bornes des armatures A et B du condensateur  en fonction de la charge électriques des armatures qA?

Étude expérimentale

On réalise le montage avec un  générateur de courant continu fixé à  une intensité constante

I = 100μA.

Le condensateur est  déchargé.

On ferme l’interrupteur en même temps que le déclenchement du  chronomètre.

On mesure la tension uAB au bornes du condensateur  chaque 10 secondes.

On enregistre les résultats dans le tableau suivant :

t (s) 0 10 20 30 40 50
uAB  (V) 0 0,5 1,00 1,5 2,5 8,41
q (μC)                     

Puisque l’intensité est constante et égale à I=100μA d’où la relation :

La charge du condensateur est : qA = I × t + q0

Le condensateur est initialement déchargé alors  q0 =0  donc    qA = I × t

on complète le tableau ci-dessous en  calculant  la charge par la relation :  qA = I × t

t (s) 0 10 20 30 40 50
uAB (V) 0 0,5 1,00 1,5 2,5 8,41
qA  (μC) 0 1 2 3 4 5

On représente la courbe qA = f (uAB)

La courbe qA = f (uAB) est une droite linéaire

Donc  : qA(t) = C × uAB(t)

Le coefficient de proportionnalité positif C est la capacité du condensateur.

 La charge électrique qA de l’armature A du condensateur est proportionnelles à la tension uAB aux bornes de ses armatures A et B   à chaque instant: qA(t) = C × uAB(t)

C :capacité du condensateur; exprime en farad (F), avec qA en coulomb et uAB en volt (V).

Association des condensateurs

Association en parallèle

Condensateurs en parallèle : plusieurs condensateurs en parallèle se comportent comme un unique condensateur de capacité équivalente  à Céq telle que :

Céq=C1 +C2+……. Cn

Pour deux condensateurs C1 et  C2 en parallèle :

Céq=C1 +C2

Condensateurs en série : plusieurs condensateurs en série se comportent comme un unique condensateur de capacité équivalente à Céq telle que :

Pour deux condensateurs C1  et C2 en série :

condensateur

La réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension

Etude expérimentale

 L’étude de l’évolution de la charge électrique du condensateur lorsque la tension entre les bornes d’un dipôle RC passe de 0 à une valeur constante E; appelée un échelon de tension.

Activité 3

Réaliser le montage suivant :

  • Les voies  Y1  et Y2   sont  branchées sur un oscilloscope à mémoire
  • Mettre l’interrupteur sur la position 2
  • Vos observations sur  les tensions uDB , uDB  etuAB    ?

Observation

Sur la voie Y1    la tension uDB  est  passée instantanément  d’une valeur  0 à une valeur constante égale à E

Sur la voie Y2 la tension uAB  aux bornes du condensateur  augmente progressivement de la valeur nulle jusqu’à la valeur maximale égale à E après un retard temporel.

la tension uAB  décrit l’évolution de la charge du condensateur   qA = C . uAB 

tension uab

Entre les voies  Yet  Ytension aux bornes du conducteur ohmique:

uDA =uDB – uAB  = R. i     la tension est  proportionnelle à  l’intensité i 

 D’après la courbe, l’intensité i du courant est  égale à zéro avant la fermeture de l’interrupteur, après la fermeture de l’interrupteur l’intensité i est égal à E/R. cette intensité décroit ensuite jusqu’à zéro.

Conclusion

Le condensateur d’un dipôle RC , soumis à un échelon de tension, se charge progressivement avec un retard temporel, donc  la charge d’un condensateur est un phénomène transitoire.

2) La constante de temps

 Selon le dipôle RC choisi, la tension UAB aux bornes des armatures tend plus ou moins rapidement vers sa valeur limite E. de même   qA = C . UAB  

Quels sont les paramètres influents sur le phénomène de charge?

 Si on associe  une  résistance plus grande à notre circuit : le condensateur se charge plus lentement

De même Si on associe  une  un condensateur de plus grande capacité : le condensateur se charge plus lentement.

 La durée de charge du condensateur d’un dipôle RC augmente quand la valeur du produit R.C augmente.

 Analyse dimensionnelle du produit R.C en raisonnant sur les unités :

R = U/I s’exprime en Ohm , équivalent à V/A;

C = Q/U = I.t / U s’exprime en Farad (F) équivalent à A.s /V

En fin : R.C s’exprime en V/A.A.s/V, soit en seconde (s).

 Le produit τ = R.C , est la constante de temps du dipôle s’exprime en seconde (s), R en Ohm et C en farad (F).

 3) étude théorique

  Le condensateur est orienté de l’armature A vers l’armature B,

Pour simplifier les notations :

Pour la charge du condensateur qA = q   la tension UAB = UC

Tension au  borne de la résistance R    UDA = UR

    Reprenons le circuit électrique précèdent  plus simplifié  utilisé lors de l’étude de la charge du condensateur:

On applique la loi d’additivité des tensions:

E = uC +uR 

E = R . i + uC                 avec la  loi d’Ohm : uR = Ri

Solution de l’équation différentielle

On montre, en mathématique, que la solution de cette équation est:

uc = Ae-mt+B

 A, B et m sont des constantes.

Détermination de A , B et m

 1ère étape      conditions initiales    à t=0     Le condensateur est  vide  donc  uC (0) = 0.

uC (0) =Ae0+B=0  <=>   A+B =0   donc   B =- A   d’où   uC = Ae-mt  -A

2ème étape    à t → +∞   le condensateur est complètement chargé : uC (+∞) = E.

uC (+∞)= Ae-∞  -A =E     <=>    -A= E    d’où   A=-E    Donc uC = E – E e-mt 

3ème étape    

τ est appelée constante de temps du dipôle RC.

Au moment où l’on ferme l’interrupteur, la tension aux bornes du condensateur est nulle (à t = 0 on a uC (0) = 0)   et il s’établit un courant i0=E/R

En régime permanent, à  t > 5τ  0     ( t → +∞    on a uC(+∞) =E)   le condensateur est chargé donc pas de mouvement de charges et i=0,

uC(5τ)  = E(1-e-5) =0,99E

Détermination de la constante du temps  τ = RC

1ère  méthode

On utilise la solution de l’équation différentielle :

uC(τ)  = E(1-e-1) =0,63E

τ est l’abscisse qui correspond à l’ordonnée 0,63E

2ème  méthode :

utilisation de la tangente à la courbe à l’instant t=0 .

Expression de l’intensité du courant de charge

intensité du courant

La décharge d’un condensateur à travers une résistance

à t=0  le  condensateur est chargé, uc(0)=E, on ferme l’interrupteur K.

d’après la loi des mailles :     uR + uc = 0 avec uR =Ri

Resistance ohmique

Solution de l’équation différentielle

uc = Ae-mt+B

A, B et m sont des constantes. Déterminons A , B et m

1ère étape :

2ème étape :

à  t=0    état où le condensateur est chargé     . uC (0) = E  

uC (0) = Ae= E  d’où    A  = E     

  donc la solution de l’équation différentielle s’écrit :  uC = E e-t /τ

à t= τ   uC(τ)  = E e-1 =0,37E

A l’instant où l’on bascule l’interrupteur (à t = 0) la tension aux bornes du condensateur

vaut  uC (0) = E et il s’établit un courant  i0=E/R et quand t → +∞    on a uC = 0 , pratiquement on considère :  t > 5 τ on a uC(+∞) =0 le condensateur est déchargé et  plus de mouvement de charges donc la tension et l’intensité s’éteignent.

Expression de l’intensité du courant de décharge

C’est Intensité  du condensateur au cours de la décharge électrique.

L’énergie stockée dans un condensateur

Expression de l’énergie électrique emmagasinée dans le condensateur

La puissance délivrée par le générateur au condensateur est :

énergie dans le condensateur

L’énergie électrique stockée par un condensateur est égal à

énergie Electrique

We   s’exprime en joule (J) avec C en farad (F), UC en volt et q en coulomb (C)

Publié par aliwiss

Webmaster, après avoir fini mes études dans la faculté des sciences et techniques au Maroc , Branche : LST ingénierie de l'eau et de l'environnement, J'ai commencé mes business sur le web

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