Mouvements Plans

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Mouvement d’un projectile dans un champ de pesanteur uniforme

 

Lancement d’un projectile

 

 

A partir d’un point O, et à l’ instant t = 0, On lance une balle de tennis de masse m, de centre d’inertie G, avec une vitesse initiale  v0 faisant un angle α par rapport à l’horizontale.

A l’aide d’une webcam , on réalise l’enregistrement du mouvement de balle de tennis .

Etudions le mouvement  dans l’espace  champ de pesanteur 𝐠⃗ uniforme .

Observations :

les positions du centre d’inertie G  de balle de tennis  évoluent  sur  le plan vertical (Oxy)  donc le mouvement est plan

  • Le vecteur vitesse du centre d’inertie change de valeurs et de direction au cours du mouvement.
  • Le vecteur accélération est vertical descendant, constant, la direction  et sens est celui  du vecteur champs de pesanteur

Bilan des forces extérieures :

Le projectile de masse 𝑚 placé dans le champ de pesanteur 𝐠⃗ subit une force de pesanteur représentée par un vecteur P = m 𝐠⃗ , son mouvement est accéléré suivant l’axe Oy

D’après  la seconde loi de Newton :.

Fext=maG=P=mg aG=g

LE

lacceleration aG a pour expression aG=gj

 

Les coordonnés du vecteur accélération sont:

aG {ax=o ay=g    az=o  

Conditions initiales :
Le projectile est lancé depuis le point origine O,  le vecteur vitesse initial V0  faisant un angle α avec le plan horizontal  (xOy)  .  

A t = 0, le vecteur vitesse initiale du centre d’inertie G est:

Vo=Vocosαi+Vosinαj

les coordonnées des vecteurs: (position et  vitesse)  du centre d’inertie G à la date t=0  sont  respectivement  :

OGo {x(o)=oy(o)=oz(o)=o et  Vo {Vx(o)=Vo cosαVy(o)=Vo sinαVz(o)=o

 

Équations horaires du vecteur vitesse

 

A la date t quelconque , les vecteurs  vitesse et accélération sont:

VG=Vxi+Vyj+Vzk  et   aG=dVGdt=dVxdti+dVydtj+dVzdtk

{ax=dVxdt=oay=dVydt=gaz=dVzdt=o {Vx(t)=axdt=C1Vy(t)=aydt=gt+C2  Vz(t)=azdt=o 

 

à t=o on a :{Vx(o)=Vo cosα=C1     Vy(o)=Vo sinα=C2Vz(o)=o 

 Finalement les coordonnées du vecteur vitesse sont:

  {Vx(t)=VocosαVy(t)=gt+VosinαVz(t)=o 

 

Équations horaires du vecteur position

 

 les coordonnées du vecteur vitesse s’écrit également

{dxdt =Vx(t)=Vo cosαdydt=Vy(t)=gt+Vo sinαdzdt=Vz(t)=o

Pour trouver l’expression de coordonnée position on calcule les primitifs des ordonnées vitesse:

{x(t) =Vo cosαdt=Vocos(α) t+C1y(t)=gt+Vosinα=12gt2+Vo sin(α) t+C2z(t)=Vzdt=o 

  à t=o {x(o)=C1=o y(o)=C2=oz(o)=o   donc  {x(t) =Vocosαty(t)=12gt2+Vo sinαtz(t)=o

Finalement  les coordonnées du vecteur  position OG sont :

  {x(t)=Vocos(α) ty(t)=12gt2+Vosin(α) tz(t)=o 

 

Équation de la trajectoire  du projectile

 

Pour obtenir une équation de la trajectoire, il faut exprimer y(t) en fonction x(t).

Éliminons  le paramètre t, en utilisant l’équation horaire x(t) établie précédemment:

x(t)=Vocos(α) t    t= xVocosα

En introduisant cette expression dans la seconde équation horaire, On obtient alors:

y=12gx2Vo2cos(α)2+Vosin(α)Vocos(α) x

on simplifie léquation y=12gx2Vo2cos(α)2+tang(α) x

 

Détermination de la portée

La portée est l’abscisse xp du point P, dont l’ordonnée yp est nulle. C’est le point du sol sur lequel arrive le projectile après sa chute.On appelle portée la distance maximale horizontalement parcourue par le projectile, .  la valeur de la portée xp est calculé  lorsque y(x) = 0.

 

Ceci conduit à résoudre l’équation y = 0, soit

y=12gx2Vo2cos(α)2+tang(α) x=O

(g2Vo2cos(α)2.x+tangα) .x=O

En factorisant par x on montre qu’il existe deux solutions :
• la solution x = 0 qui correspond au point de lancer O,
• l’autre solution : xp et qui vérifie

g2Vo2cos(α)2.xp+sinαcosα =O 

 xp=2Vo2 sinα cosαg  or 2sinα cosα=sin2α donc  xp=Vo2  sin2αg

Finalement la portée est égale à :

OP=xp=Vo2sin(2α)g

 

Détermination de la flèche 

On appelle la flèche l’altitude maximale yS atteinte par G donc le projectile est au sommet S de sa trajectoire, la composante verticale de la vitesse est nulle : Vy = 0 et la tangente à la courbe en S est horizontale, donc dy/dx = 0

 

Première méthode de la détermination yS :

Exploitons les 2 equations Vy(t)=gt+Vosinα et y(t)=12gt2+Vosin(α) t

Vy(ts)=gts+Vosinα =o   ts=Vosinαgy(ts)=12gts2+Vosin(α)ts=12g(Vosinαg)2+(Vosinα)2g=Vo2sin2α2g

Finalement la flèche a pour expression:

ys =Vo2sin2α2g

Deuxième méthode de la détermination yS

dydx=ddx(12gx2Vo2cos2α +tang(α).x)=gVo2cos2α  x+tang(α)

(dydx)xs=gVo2cos2α  xs+tang(α)= xs=Vo2 sinα cosαg

L’abscisse du sommet S de la trajectoire est xS, ainsi la flèche de la trajectoire est yS

ys =g2Vo2cos(α)2xs2+tang(α).xs=Vo2 sin2α 2g

 

Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrique uniforme

 

Condensateur plan

Un condensateur plan est composé de deux  armatures conductrices planes parallèles, de longueur L et  espacées d’une distance  d.

Champ électrique d’un condensateur plan

A l’aide d’un générateur on applique une différence de potentiel   constante   entre 2   armatures. 

Les armatures sont portées à deux potentiels, l’une  est  chargée  positivement  et  l’autre  négativement.

Les armatures sont portées à deux potentiels, l’une  est  chargée  positivement  et  l’autre  négativement.

En effet un champ électrique E ⃗   uniforme  règne  entre les armatures,  son expression est la suivante, dans le repère ( O,i,j )

(O,i,j)    E=UABd j

La direction champ électrique E ⃗ est perpendiculaire à la surface des armatures ; orientée de la plaque positive vers la plaque négative

 (dirigée vers les potentiels décroissants de A vers B : VA > VB Sa norme constante est donnée par la relation : E = U/d   (en V/m)

 

La force électrique (force de Coulomb)

 Considérons une particule chargée placée entre les armatures d’un condensateur plan à air soumis à une différence de potentiel. 

Nous remarquons que la particule subit force électrostatique

toute particule de charge placée entre les armatures subit la force de Coulomb dont l’expression est :

F=qE

F ⃗ est donc colinéaire à E ⃗ et le sens  dépend du signe de la charge:

  • Si q > 0, alors F et E sont dans le même sens.
  • Si q < 0, alors F et E sont dans des sens opposés.
  • Si q = 0, alors la force électrique est nulle.

 

Particule chargée en mouvement dans un champ électrique uniforme

On considère à l’instant  t = 0 une particule de charge q  et de masse m, entre dans le champ d’un condensateur plan en O  , avec une vitesse initiale v0 horizontale.  ( un champ électrique    E  constant entre les deux armatures plan règne )

Etudions le mouvement  du particule au sein champ électrique

Système : {particule de charge q, de masse m}

Référentiel : Terrestre galiléen, repère orthonormé cartésien (O,i,j,k)  

Bilan des forces extérieures :

  • le poids est toujours négligeable pour les particules
  • Force électrique est   F=qE

D’après la seconde loi de Newton:

F=m a m a= qE    a= qmE   

 

Equations horaire du système

Coordonnées du vecteur accélération de la particule:

aG {ax(t)=o ay(t)=qEm    az(t)=o  

Coordonnées du vecteur vitesse de la particule:

VG {Vx(t)=Vo Vy(t)=qEmt    Vz(t)=o  

Coordonnées du vecteur position:

 OG {x(t)=Vo ty(t)=qE2mt2+Vo t   z(t)=o  

 Équation de la trajectoire

 

 

La trajectoire de la particule est contenue dans le plan (Oxy).

En éliminant le temps t entre les deux équations x(t) et y(t)

Il faut donc éliminer le paramètre temps t des équations horaires x(t) et  y(t) :

y=qE2m.Vo2x2

Cette équation cartésienne est celle d’une parabole

 

Etudions le mouvement  du particule  après sa sortie du  champ électrique

Au delà du point  S les particules chargés ne sont soumis à aucune force

 donc le mouvement  est rectiligne uniforme, d’après le principe d’inertie,

Les coordonnées du point S à la sortie du condensateur  sont :

 OS {xs=lys=qE2Vo2ml2    zs=o  

 

 

La date de passage de la particule par le point S est t =l / v

Les coordonnées La vitesse Vs de la particule à la sortie   au point S

  V {VSx=Vo VSy=qEm.lVo VSz=o    

Le vecteur Vs⃗ forme avec l’horizontal un angle de déviation angulaire α , tel que:

tanα=VSyVSx=qE lmVo2

Déviation électrique

À la sortie du champ électrique , le mouvement de la particule est

rectiligne uniforme de vitesse jusqu’à ce qu’il heurte l’écran au point O.

On appelle déflexion électrique la distance De entre le point d’impact A’ de la particule avec l’écran en absence du champ électrique et le point d’impact A de la particule avec l’écran en présence du champ électrique.

De = A′A = A′H+HA=( L-l ) tanα +ys

 De =(Ll2).qE lmV2

 on sait que E=Ud     alors   De =(Ll2).qUlmdV2

la déflexion électrique est proportionnelle à la tension entre les plaques elle est sous la forme : De= k U

avec  K=(Ll2).qlmdVo2

Cette propriété est utilisée dans le principe de fonctionnement d’un oscilloscope

Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme

 Force magnétique : Force de Lorentz

une particule de charge q est en mouvement avec une vitesse V⃗  dans un champ magnétique uniforme de vecteur B⃗ , une force magnétique appelée force de Lorentz F⃗ donnée par:

F=qvB

Caractéristiques de la force de Lorentz

  • Point d’application : la particule chargée
  • Direction : la droite perpendiculaire au plan formé par q𝑣 ⃗ et  𝐵⃗  )
  • Sens : il est donnée par la règle des trois doigts de la main droite la main droite
  • Intensité : F =  |q v B . sin( 𝑎 )|
  • α est l’angle formé par q𝑣 ⃗ et 𝐵⃗

Etude cinématique d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme

Une charge électrique q < 0 de masse m est introduite en un point O avec la vitesse initiale 𝑣⃗  , dans un espace où règne un champ magnétique uniforme  𝐵⃗  et perpendiculaire au vecteur 𝑣.

On étudie  le mouvement de la particule

  • Le système étudié : { la particule}
  • Référentiel : Base de Frenet
  • Bilan des forces :Force de Lorentz, (le poids de la particule est négligeant devant la force de Lorentz)

Application de la deuxième loi de Newton  

 

F=ma=qvB   donc  a=qmvB

 

on déduit que le vecteur accélération a de la particule, est perpendiculaire au vitesse à tout instant

Projection de vecteur accélération a sur les axes du repère de Frenet est:

a=aT+aN=aTu+aNn=dvdtu+v2ρ nPuisque a perpendiculaire à v  donc aT=dvdt=  

   La vitesse tangentiel à la trajectoire  est constant alors le mouvement est uniforme

la force de Lorentz 𝐹⃗    est porté par le vecteur unitaire 𝑛 ⃗

on dit que la force est centripète

a=aNn=v2ρ n   v2ρ=|q|mv.Bρ=mv|q|.B

Puisque m, v, q et B sont constants donc ρ : le rayon de courbure de la trajectoire est constant ( ρ=R) alors le mouvement est circulaire.

Conclusion : toute particule chargée entrant dans un champ magnétique avec une vitesse perpendiculaire à 𝑩⃗ décrit un mouvement t circulaire uniforme perpendiculaire au champ 𝑩⃗ Le rayon de la trajectoire est donné par l’expression suivante:

R=mv|q|.B

Voir aussi:  Modulation et Démodulation d’amplitude

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