Mouvements Des Planètes Et Des Satellites

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Les lois de Kepler

Le référentielle héliocentrique est  convenable pour l’étude des mouvements des planètes autour du soleil  son repère ayant pour origine le centre du Soleil, ces trois axes sont dirigés vers trois étoiles fixes et lointaines.

Première loi de Kepler : Lois des trajectoires 

Dans le référentiel héliocentrique, le centre d’inertie de chaque planète décrit une trajectoire elliptique dont le le centre du Soleil  est l’un des foyers.

Quelques rappels mathématiques sur les propriétés des ellipses:

  • F et F’ sont les foyers de l’ellipse
  •  [AA’]= 2 a est son grand axe
  • [BB’] = 2b est son petit axe
  • Tout point P de l’ellipse vérifie la relation :PF + PF’ = 2 a= Cte
  • Si les deux foyers F et F’ sont confondus  (FF’=0), l’ellipse devient un cercle

Deuxième loi de Kepler : loi des aires

Le rayon [SP] qui relie les centres de gravité de soleil S et de la Planète P   balaie des aires égales pendant des durées Δt égales.

Conséquence:

Pendant la même durée ∆t  la planète   a parcouru  2 distances différent   par conséquence la vitesse moyenne de P n’est pas constante , ce qui implique que la planète va plus vite quand elle est proche d’un foyer de l’ellipse

La vitesse devient donc plus grande lorsque la planète se rapproche du soleil :

La vitesse est maximale en A qui est le plus proche du soleil (périhélie)

La vitesse est minimale en A’ qui est le plus éloigné du soleil (aphélie)

Troisième loi de Kepler : loi des périodes

Pour toutes les planètes du système solaire: le rapport entre le carré de la période de révolution T d’une planète et le cube du demi-grand axe (a =AA’/2) de l’ellipse est constant :

Rappel : Mouvement circulaire uniforme

Propriétés d’un mouvement circulaire uniforme

Un mobile est en mouvement circulaire uniforme si sa trajectoire est un cercle et la valeur de la vitesse de son centre d’inertie G  est constante

Voir aussi:  Transmission des Informations par Ondes électromagnétiques

Le repère le plus approprié pour étudier le mouvement est le repère  de Frenet :

Le vecteur unitaire est tangent à la trajectoire plane,

 Le vecteur unitaire est normal à la trajectoire (dirigé vers le centre).

Le vecteur vitesse d’un mouvement circulaire est tangent au cercle de la trajectoire

Le vecteur  accélération   d’un mouvement circulaire uniforme est de direction  normale à la trajectoire

vers le centre O :l’accélération est centripète :

Vitesse angulaire

Vitesse angulaire :

Relation entre vitesse linéaire v et vitesse angulaire ω : v= R ω

l’objet est en mouvement circulaire à vitesse constante v sur un cercle de rayon R

donc la vitesse angulaire ω est constante : T

T est la période de révolution, l’objet parcourt le cercle en un temps

Rappel lois de Newton :

la loi de gravitation universelle de Newton

Deux corps masses mA et mB  de répartition sphérique   s’attirent mutuellement.  Les forces d’interaction gravitationnelle ont pour expression :

  • 𝐹⃗𝐴/𝐵 :  la force exercée par le corps  A sur le corps B
  • 𝐹⃗𝐵/𝐴   : la force exercée par le corps  B sur le corps A
  • d = AB : la distance entre A et B
  • G : la constante de gravitationnelle, avec G = 6,67.10-11 N.m2 .Kg-2

– 𝑢⃗𝐴𝐵 :  vecteur unitaire   avec   ‖𝑢⃗𝐴𝐵‖ = 1

Cette   loi  de gravitation universelle peut expliquer les lois du mouvement des planètes établies par Kepler

Mouvement des planètes autour du Soleil

On étudie le mouvement d’une planète, de centre P de masse mP, qui tourne autour du Soleil, de centre S de masse mS, dans le référentiel héliocentrique considéré galiléen :

La seule force extérieure qui s’applique sur la planète est la force d’attraction gravitationnelle exercée par le Soleil  son expression:

Le système étudié :{ la planète }

Voir aussi:  Les lois de newton

Bilan des forces : La force gravitationnelle (direction : radiale ; sens: centripète) :

Référentiel :héliocentrique ( galiléen ) :

Repère : base de Frenet ( l’origine du repère est confondue avec le centre d’inertie du planète )

Application de la deuxième loi de Newton

  on remarque que    est centripète ( dirigé vers le centre) ce qui montre que la planète
P est en mouvement circulaire uniforme donc:

Donc la vitesse  de la planète est:

La période de révolution est:

On peut déduire

En fin on retrouve la troisième loi de Kepler  pour une planète en mouvement circulaire uniforme autour du soleil

Mouvement d’un satellite autour de la Terre

On étudie un satellite en mouvement autour de la Terre .

La Terre de masse mT exerce une force d’attraction gravitationnelle sur la satellite de masse msat

son expression:

mT: masse de la Terre : RT : rayon de la Terre : ; msat: masse du satellite

h: Altitude du satellite étudié : ; Constante de gravitation universelle : G

Le système étudié :{satellite }

Bilan des forces : La force gravitationnelle (direction : radiale ; sens: centripète) :

Référentiel :géocentrique ( galiléen ) :

Repère : base de Frenet ( l’origine du repère est confondue avec le centre d’inertie du satellite )

Application de la deuxième loi de Newton

on remarque que est centripète ce qui montre que la satellite est en mouvement circulaire uniforme donc:

r : distance entre les centres d’inertie de la Terre et du satellite : r = RT+h

Donc la vitesse  du satellite est:

La période de révolution est:

La période et la vitesse dépendent de l’altitude

On peut déduire

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