Les lois de Kepler
Le référentielle héliocentrique est convenable pour l’étude des mouvements des planètes autour du soleil son repère ayant pour origine le centre du Soleil, ces trois axes sont dirigés vers trois étoiles fixes et lointaines.
Première loi de Kepler : Lois des trajectoires
Dans le référentiel héliocentrique, le centre d’inertie de chaque planète décrit une trajectoire elliptique dont le le centre du Soleil est l’un des foyers.
Quelques rappels mathématiques sur les propriétés des ellipses:
- F et F’ sont les foyers de l’ellipse
- [AA’]= 2 a est son grand axe
- [BB’] = 2b est son petit axe
- Tout point P de l’ellipse vérifie la relation :PF + PF’ = 2 a= Cte
- Si les deux foyers F et F’ sont confondus (FF’=0), l’ellipse devient un cercle
Deuxième loi de Kepler : loi des aires
Le rayon [SP] qui relie les centres de gravité de soleil S et de la Planète P balaie des aires égales pendant des durées Δt égales.
Conséquence:
Pendant la même durée ∆t la planète a parcouru 2 distances différent 
par conséquence la vitesse moyenne de P n’est pas constante , ce qui implique que la planète va plus vite quand elle est proche d’un foyer de l’ellipse
La vitesse devient donc plus grande lorsque la planète se rapproche du soleil :
La vitesse est maximale en A qui est le plus proche du soleil (périhélie)
La vitesse est minimale en A’ qui est le plus éloigné du soleil (aphélie)
Troisième loi de Kepler : loi des périodes
Pour toutes les planètes du système solaire: le rapport entre le carré de la période de révolution T d’une planète et le cube du demi-grand axe (a =AA’/2) de l’ellipse est constant :
Rappel : Mouvement circulaire uniforme
Propriétés d’un mouvement circulaire uniforme
Un mobile est en mouvement circulaire uniforme si sa trajectoire est un cercle et la valeur de la vitesse de son centre d’inertie G est constante
Le repère le plus approprié pour étudier le mouvement est le repère de Frenet :
Le vecteur unitaire 
est tangent à la trajectoire plane,
Le vecteur unitaire 
est normal à la trajectoire (dirigé vers le centre).
Le vecteur vitesse d’un mouvement circulaire est tangent au cercle de la trajectoire
Le vecteur accélération d’un mouvement circulaire uniforme est de direction normale à la trajectoire
vers le centre O :l’accélération est centripète : 
Vitesse angulaire
Vitesse angulaire : 
Relation entre vitesse linéaire v et vitesse angulaire ω : v= R ω
l’objet est en mouvement circulaire à vitesse constante v sur un cercle de rayon R
donc la vitesse angulaire ω est constante : 
T
T est la période de révolution, l’objet parcourt le cercle en un temps 
Rappel lois de Newton :
la loi de gravitation universelle de Newton
Deux corps masses mA et mB de répartition sphérique s’attirent mutuellement. Les forces d’interaction gravitationnelle ont pour expression :
- 𝐹⃗𝐴/𝐵 : la force exercée par le corps A sur le corps B
- 𝐹⃗𝐵/𝐴 : la force exercée par le corps B sur le corps A
- d = AB : la distance entre A et B
- G : la constante de gravitationnelle, avec G = 6,67.10-11 N.m2 .Kg-2
– 𝑢⃗𝐴𝐵 : vecteur unitaire avec ‖𝑢⃗𝐴𝐵‖ = 1
Cette loi de gravitation universelle peut expliquer les lois du mouvement des planètes établies par Kepler
Mouvement des planètes autour du Soleil
On étudie le mouvement d’une planète, de centre P de masse mP, qui tourne autour du Soleil, de centre S de masse mS, dans le référentiel héliocentrique considéré galiléen :
La seule force extérieure qui s’applique sur la planète est la force d’attraction gravitationnelle exercée par le Soleil son expression:
Le système étudié :{ la planète }
Bilan des forces : La force gravitationnelle
(direction : radiale ; sens: centripète) :
Référentiel :héliocentrique ( galiléen ) :
Repère : base de Frenet ( l’origine du repère est confondue avec le centre d’inertie du planète )
Application de la deuxième loi de Newton
on remarque que 
est centripète ( dirigé vers le centre) ce qui montre que la planète
P est en mouvement circulaire uniforme donc:
Donc la vitesse de la planète est:
La période de révolution est:
On peut déduire
En fin on retrouve la troisième loi de Kepler pour une planète en mouvement circulaire uniforme autour du soleil
Mouvement d’un satellite autour de la Terre
On étudie un satellite en mouvement autour de la Terre .
La Terre de masse mT exerce une force d’attraction gravitationnelle sur la satellite de masse msat
son expression:
mT: masse de la Terre : RT : rayon de la Terre : ; msat: masse du satellite
h: Altitude du satellite étudié : ; Constante de gravitation universelle : G
Le système étudié :{satellite }
Bilan des forces : La force gravitationnelle 
(direction : radiale ; sens: centripète) :
Référentiel :géocentrique ( galiléen ) :
Repère : base de Frenet ( l’origine du repère est confondue avec le centre d’inertie du satellite 
)
Application de la deuxième loi de Newton
on remarque que
est centripète ce qui montre que la satellite est en mouvement circulaire uniforme donc:
r : distance entre les centres d’inertie de la Terre et du satellite : r = RT+h
Donc la vitesse du satellite est:
La période de révolution est:
La période et la vitesse dépendent de l’altitude
On peut déduire
