Une fonction réciproque est tout simplement l’application inverse d’une fonction

Théorème :

Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle de I sur J= f (I) alors :
quel que soit y élément de f (I), il existe un et un seul x de I tel que : y = f (x).

Conséquence:

Une fonction continue et strictement croissante sur un intervalle [a ; b] réalise une bijection de I= [a ; b] sur J=[f(a) ; f(b)].

 La fonction f admet une fonction réciproque définie sur J et notée f ^-1

Définition:

Soit f  une fonction continue strictement monotone sur un intervalle I, soit  f(I) =J  image de l’intervalle I 

On peut donc définir une fonction de f (I) dans I qu’on appelle fonction réciproque noté f ^-1 .

Pour tout y de f (I) : si y = f (x) alors f ^-1 (y) = x

Théorème:

Si f un fonction numérique continue et strictement monotone sur I alors f ^-1 est continue et strictement monotone sur J= f(I) de même sens de monotonie que f

Conséquence f admet une bijection réciproque f ^-1 de J=[f(a) ,f(b)] sur I = [a ,b ] .

Remarque : f et f ^-1 varient dans le même sens c’est-à-dire si par exemple f est continue et strictement croissante, f ^-1 est aussi continue et strictement croissante.

Fonction réciproque – Graphe

Théorème

Les courbes des fonctions f et de sa réciproque f ^-1 sont symétriques par rapport à la droite y = x

Détermination de la fonction réciproque

f(x)=x²

Exemple pour x≥0

Soit f(x)=x² pour x≥0. Déterminer sa fonction réciproque.

Solution:

fonction x² est continue et strictement croissante sur [0;+∞[, alors elle admet une fonction réciproque

 On résout l’équation

y=x² , x≥0

où l’inconnue est x, on obtient

x=√y y≥0

Maintenant on remplace y par x et x par y on obtient

y=√x x≥0

Donc la fonction réciproque f ^-1 (x) de f(x)=x² pour x≥0 ,

est la fonction racine carrée: f ^-1(x)= √x

Graphes des fonctions √x , x² et x

Exemple pour x≤0

Soit f(x)=x² pour x≤0. Déterminer sa fonction réciproque.

Solution:

La fonction x² est continue et strictement croissante sur ]-∞;0] alors elle admet une fonction réciproque

On résout l’équation

y= x² , x≤0

où l’inconnue est x, on obtient

x= – √y y≥0

Maintenant on remplace y par x et x par y on obtient

y= – √x x≥0

Donc la fonction réciproque f ^-1(x) de f(x)=x² pour x≤0,

est la fonction racine carrée: f ^-1(x)=-√x

Graphes des fonctions , -√x , x² et x

Détermination de la fonction réciproque f(x)=xⁿ

La fonction f(x)= xⁿ est continue et strictement croissante sur [0;+∞[

Donc  f(x) admet une fonction réciproque 

Sa fonction réciproque est appelée racine n-ième   qui est notée

est une fonction   continue  et  strictement croissante sur [0;+∞[

La droite y=x et l’axe de symétrie de f(x) = xⁿ et de sa réciproque

Les graphes des fonctions

Dérivation de la fonction réciproque :

Si la fonction f est continue, strictement monotone et dérivable sur I et si

Alors la fonction réciproque f ^-1 est dérivable sur J= f(I) et admet pour fonction dérivée :

Démonstration:

La fonction f ^-1 est dérivable en y donc :

Ce qui nous permet d’écrire :

Donc la fonction réciproque f ^-1 est dérivable en y :

Par application de la dérivation des fonctions composées

f ^-1∘f(x)= [ f ^-1 (f(x) )]=x

Dérivation d’une composée

Pour une variable x on posera pour la dérivée de la fonction réciproque :

Par application de la dérivation différentiel :

Exercices : Fonctions Réciproques

Déterminer la fonction réciproque de  :

Solution:

Exercice 2 : fonction Réciproque

Lire aussi : Limites de Fonction

eh on a arrivé et finalement a la fin du cours des fonctions réciproques, n’oubliez pas de commenter si vous avez une idée ou une question, l’équipe COURSUNIVERSEL vous répondrez le plutôt possible

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