équations différentielles : Cours et exercices corrigés

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cours des équations différentielles avec des exercices corrigés pour le terminale.

Généralités

Une équation différentielle s’écrit sous la forme d’une égalité dans laquelle figure une fonction y= 𝑓 (x) , sa dérivée y ‘ =𝑓 ‘(x) ou ses dérivées successives.

on appelle une équation différentielle d’ordre 1 si la dérivée première est seule à figurer dans l’équation

exemple :       y ‘ = a.y + b avec a ≠ 0 a, b : réels (y = 𝑓 ; y’ = 𝑓 ’ )

on appelle une équation différentielle d’ordre 2 lorsque la dérivée seconde figure dans l’ équation

exemple :     y ” + a.y ‘ + b.y = 0        a, b : réels   (y =𝑓 ; y’ = 𝑓 ’ ; y’’ =𝑓 ’’)

Nous considérons a et b comme des constantes réels pour toutes les équations différentielles à étudier.

Résolution de l’équation différentielle d’ordre 1 : 𝒚′+𝒂𝒚=b

Soit a, b : deux valeurs constants réels ( a ≠ 0)

Résoudre l’équation différentielle 𝒚′ + 𝒂𝒚 = b  c’est de déterminer toutes les fonctions définies et dérivable sur ℝ qui vérifient cette égalité.

Solution générale de l’équation différentielle 𝒚′ + 𝒂𝒚 = 𝟎

Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions définies par :         y= 𝑓(𝑥) = ke-ax    k ∈ ℝ

Exemple

Déterminer les fonctions, dérivables sur ℝ, solutions de l’équation différentielle : y’ + 2y = 0.

Solution

y ’+ 2y = 0 les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions :   𝑓(𝑥) = ke-2x . k ∈ ℝ

L’équation différentielle : 𝒚′ + 𝒂𝒚 = b avec a ≠ 0 et b ≠ 0

Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions définies par :     𝑓(𝑥) = ke-ax+ \frac{b}{a}     k ∈ ℝ

Exemple

Déterminer les fonctions, dérivables sur R, solutions de l’équation différentielle :     y’ − 6y + 1 = 0.

Solution

y ’− 6y +1= 0    ⇔   y ’ − 6y= –1

Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions :

𝑓(𝑥) = ke6x +(\frac{-1}{-6})   ⇔  𝑓(𝑥) = ke6+\frac{1}{6}

Unicité de la solution de l’équation différentielle sous condition initiale 𝑥0, 𝑦0

Propriété:

Soient des réels donnés 𝑥0, 𝑦0 , b  , 𝑎 ≠ 0

L’équation différentielle 𝑦′ + 𝑎𝑦 = 𝑏 admet une unique solution 𝑓 dérivable sur ℝ   vérifiant 𝑓(𝑥0) = 𝑦0

Exemple

Déterminer la solution de l’équation différentielle y’ − 6y + 6 = 0 qui vérifie y(0) = 5.

Solution

y ’− 6y +6= 0    ⇔   y ’ − 6y = -6.

Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions :

𝑓(𝑥) = ke6x +(\frac{-6}{-6})     ⇔  𝑓(𝑥) = ke6x+1

condition initial : 𝑓(0) = ke0 +1=5    ⇔ k+1=5  donc k=4

La fonction f, solution de l’équation y’ − 6y + 6 = 0 et telle que 𝑓(0) = 5, est donc   𝑓(𝑥) = 4e6x+1

Résolution d’une équation différentielle d’ordre 2 :

Soit équation différentielle E : y ” + a.y ‘ + b.y = 0 avec a, b : réels

Cherchons les solutions de équation différentielle E  sous forme y = k erx           Où( k :réel ; r : réel ou complexe )

y = kerx

L’équation différentielle E devient :  y ” + a.y ‘ + b.y = (r2 + a.r + b) k erx

  • Si k = 0, alors y =0 est solution de ‘équation différentielle .
  • Si k≠0 , r est solution de l’équation du second degré

on appelle r2 + a.r + b=0    l’équation caractéristique.

C’est une équation du second degré à coefficients réels.

r1 et r2 racines de l’équation caractéristique r2 + a.r + b=0

La solution de l’équation différentielle E : y” + a.y’+ b.y = 0 dépend des racines de l’équation caractéristique r1 et r2.

Δ= a2 – 4b est le discriminant de r2 + a.r + b=0

Si Δ > 0 l’équation caractéristique admet deux solutions réelles r1 et r2

La solution générale de l’équation différentielle (E) est y =C1er1x+C2er2x

(où C1 et C2 sont des constantes réelles quelconques.)

Si Δ= 0 l’équation caractéristique admet une solution réelle double r

La solution générale de l’équation différentielle (E) est y = (C1.x + C2 )erx

(où C1 et C2 sont des constantes réelles quelconques.)

Si Δ< 0 l’équation caractéristique admet deux solutions complexes conjuguées r1 et r2

Soient r1 =α + βi. et r2 =α – βi. ces deux solutions (avec α et β réels).

La solution générale de l’équation différentielle (E) est :

y = eαx.(K1.cos(βx) + K2.sin(βx)) où K1 et K2 sont deux constantes réelles quelconques

Unicité de la solution de l’équation différentielle sous condition initiale 𝑥0, 𝑦0

Il existe une solution et une seule satisfaisant à des conditions initiales du genre y(x0)=y0 et y ‘(x0)=y0‘.

Exemples

Résoudre E    :   y’’-3y’+2y = 0

Solution

Il s’agit d’une équation différentielle du second ordre ,son équation caractéristique associée est r2-3r+2=0 son discriminant Δ=32 -8=1 donc Δ> 0 elle  admet deux solutions réels : r1 = 2 et r2 = 1. Les solutions de l’équation différentielle sont donc les fonctions définies sur ℝ par y(x) = C1e2x+C2ex où C1 et C2 sont deux constantes réelles quelconques

Résoudre E : y’’+2y’+2y = 0

Il s’agit d’une équation différentielle du second ordre ,son équation caractéristique associée est r2 +2r+2=0 son discriminant Δ=22 -8=-4 donc Δ< 0  elle admet deux solutions complexes conjuguées r1 =-1 + i. et r2 = -1 – i La solution générale de l’équation différentielle (E) est :  y = e-x.(K1.cos(x) + K2.sin(x)) où K1 et K2 sont deux constantes réelles quelconques

Résoudre  E : y’’-2y’+y = 0

Il s’agit d’une équation différentielle du second ordre , son équation caractéristique associée est r2 -2r+1=0 son discriminant Δ=22 -4=0 donc Δ= 0 admet une solution réelle double r=1 La solution générale de l’équation différentielle (E) est y = (C1.x + C2 )ex  (où C1 et C2 sont des constantes réelles quelconques.)

Exercice équations différentielles 

Résoudre  l´équations différentielles suivante :

y’’-5y’+4y = 0     ,     y(0) = 5     y’(0)=8

Réponse :

L’équation caractéristique est : r2 − 5r + 4 = 0     Δ= 9 > 0  ⇒  r1 = 1 et r2 = 4

La solution générale est : y(x) = C1ex + C2e4x   et   y′(x) = C1ex + 4C2e4x

condition initial : y(0) = C1 + C2 = 5      y′(0)= C1 + 4C2 = 8   ⇒   C1=4 et C2=1

La solution de l ´équations différentielles est : y(x) = 4ex + 1e4x

Exercice2

Résoudre l ´équations différentielles suivante :

y’’+4y = 0      ,         y(0) = 0          y’(0)=2

Réponse :

L’équation caractéristique est r2 + 4 = 0   Δ = −16 < 0   ⇒  r1 = +2i  et  r2 = -2i    La solution générale est : y(x) = C1 cos(2x) + C2 sin(2x)

Dérivée de y(x) est : y’(x) = −2C1 sin(2x) + 2C2 cos(2x)

condition initial : y(0) = C1 = 0   et      y’(0) = 2C2 = 2   ⇒     C1 = 0 et  C2 = 1

La solution de l ´équations différentielles est : y(x) = sin(2x)

Exercice3

Résoudre l´équations différentielles suivante :

y’’+2y’+y = 0 ,    y(0) = 1      y’(0)=0

Réponse :

L’équation caractéristique est : r2 + 2r + 1 = 0     Δ= 0   ⇒  r = −1

La solution générale est : y(x) = (C1x + C2)ex

Dérivée de y(x) est : y′(x) = C1ex − (C1x + C2)ex

Conditions initiales:  y(0) = C2 = 1    ;    y’(0) = C1 − C2 = 0  ;   C1 = 1  ; C2 = 1

La solution de l ´équations différentielles est  y(x) = (x + 1)ex

Exercice4

Résoudre l´équations différentielles suivante :

y’’+3y’ = 0 ,      y(0) = 0    ,     y(1)=1

L’équation caractéristique est r2 + 3r = 0     Δ = 9 > 0  ⇒ r1 = 0 et r2 = −3

La solution générale est : y(x) = C1 + C2e−3x

  • Conditions initiales  y(0) = 0  ;     y(1)=1

y(0) = C1 + C2 = 0    ⇒C1 = −C2

y(1) = C1 + C2e−3 = −C2 + C2e−3 =C2 ( e−3 -1) =1   ⇒C1 = −C2 = \frac{e^{3}}{e^{3}-1}

              La solution de l´équations différentielles est  y(x) =\frac{e^{3}}{e^{3}-1} (1 − e−3x)

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