Fonction Exponentielle avec exercices

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Cours de fonction exponentielle avec des exemples ( exercices ) corrigés pour le terminale.

  1. Théorème

    Tab 1 content…

    Tab 2 content…


     

Il existe une seule et unique fonction f définie et dérivable sur ℝ et telle que :     (∀ 𝒙 ∈ ℝ ) 𝒇′(𝒙)=𝒇(𝒙) et 𝒇(𝟎)=𝟏

Cette fonction s’appelle fonction exponentielle On la note exp

Nouvelle notation de la fonction exponentielle

On pose e = exp(1) e ≈ 2,718281828

(∀ 𝒙 ∈ ℝ ) exp(𝒙) = 𝒆𝒙 « exponentielle de 𝒙 » ou « e exposant 𝑥 »

Equations et inéquations

(∀𝑥 ∈ ℝ)(∀𝑦 ∈ ℝ)(𝑒𝑥𝑝(𝑥) = 𝑒𝑥𝑝(𝑦) ⟺ 𝑥 = 𝑦)

(∀𝑥 ∈ ℝ)(∀𝑦 ∈ ℝ)(𝑒𝑥𝑝(𝑥) ≤ 𝑒𝑥𝑝(𝑦) ⟺ 𝑥 ≤ 𝑦)

Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

(∀ 𝒙 ∈ ℝ ) (∀𝑦 ∈ ℝ)( (∀ r ∈ ℚ )

𝒆𝒙+y= 𝒆𝒙 . 𝒆y

𝒆-𝒙 = \frac{1}{e^{x}}

𝒆𝒙-y = \frac{e^{x}}{e^{y}}

𝒆r𝒙 = (𝒆𝒙)r

Calcul des limites

Etude de la fonction exponentielle

Dérivée et sens de variations

La fonction exponentielle est continue et dérivable sur ℝ 

(∀ 𝒙 ∈ ℝ )   on a : 𝒆𝒙𝒑’(𝒙)= 𝒆𝒙𝒑(𝒙)

(∀ 𝒙 ∈ ℝ ) : 𝒆𝒙 > 0   donc pour: (∀ 𝒙 ∈ ℝ ) (𝒆𝒙)> 0 .

La fonction dérivée est strictement positive sur ℝ donc, la fonction exponentielle est strictement croissante sur tout ℝ . D’où le tableau de variations de la fonction exponentielle :

Tableau de variation de la fonction exponentielle 𝒇(𝒙)= 𝒆𝒙

Courbe représentative de la fonction exponentielle

Dérivée d’une fonction composée

Théorème

Soit la fonction 𝒖 une fonction dérivable sur un intervalle I de ℝ alors la fonction 𝒇 définie sur l’intervalle I par 𝒇 (𝒙)= 𝒆 𝒖 (𝒙) est dérivable sur I et on a :    (∀ 𝒙 ∈ I )      𝒇′(𝒙)=𝒖′(𝒙) 𝒆𝒖(𝒙)

Exemple1 :  déterminer la dérivée de la fonction suivante:

𝒇 (𝒙)= e7×2-5x+4

Solution

𝒇′(𝒙)= (7x2-5x+4) e7×2-5x+4 = (14x-5) e7×2-5x+4

Exemple2 : déterminer la dérivée de la fonction suivante:

𝒇 (𝒙)= x2 * e5x+4

Solution

𝒇′(𝒙)= (x2)’ *e5x+4+ x2(e5x+4)’=2xe5x+4+5 x2 e5x+4

=e5x+4(5 x2+2x)

FONCTIONS EXPONENTIELLES DE BASE a

DEFINITION

Soit a > 0 La fonction f : xax est appelée fonction exponentielle de base a.

Exemples :

  •  a=10       f(x)=  10x  base 10
  • a= 2        f(x)=   2x    base 2     
  • a= e         f(x)=  ex   base e

Propriétés

Soit (a> 0 et a ≠1) pour tous réels x et :

ax >0                       a-x =\frac{1}{a^{x}}                            ax ay = ax+y

\frac{a^{x}}{a^{y}}= ax-y                      (ax)y = axy                    ax bx = (ab)x

Equations et inéquations

(∀𝑥 ∈ ℝ)(∀𝑦 ∈ ℝ)            ax = ay   ⟺   x = y

(∀𝑥 ∈ ℝ)(∀𝑦 ∈ ℝ)            ax ≤ ayxy

Exemple

  1. Résoudre l’équation suivante 2x =16

Solution

2x =16   ⟺  2x=24 donc x=4

  1. Résoudre l’équation suivante 3x =243

Solution

3x=243 ⟺   3x =  35 donc x=5

          2.Résoudre l’équation suivante 2x+3 4x+1 -320=0

Solution

2x.23+4x*41 -320=0      ⟺   2x.23+(2x)2.(22)-320=0

On pose : X=2x   l’équation s’écrit : 4X2+8X-320=0 ⟺   X2+2X-80=0

Après factorisation on obtient : (X+10)*(X-8)=0

X+10=0 ⟺  X= -10       2x  =-10   est rejeté  puisque 2x>0

X-8=0 ⟺  X= 8         X= 2x =8 ⟺  x=3 est solution de l’équation

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