Nombres complexes : Cours et Exercices Corrigés

1 1 621

Coursuniversel vous propose un cours simple et précis des nombres complexes pour tout les niveaux ( terminale s , mpsi, ….) avec des exercices corrigés.

On Commence 😉

On appelle le nombre complexe :

Tout nombre s’écrit sous la forme z = x+ i y ( x, y deux nombres réels : x ∈ℝ et y ∈ℝ) et i un nombre imaginaire qui vérifie i² = – 1

L’ensemble des nombres complexes est noté ℂ ℂ= { x+ i y / (x ; y) ∈ℝ² }

Tel que i² = -1

Ecriture  algébrique d’un nombre complexe

Tout nombre complexe z s’écrit d’une manière unique sous la forme :

z = x+ i y, x et y sont deux nombres réels.

Ecriture  z = x+ i y   est la forme algébrique  du nombre complexe z

x est  la partie réelle de z  noté : x = Re(z) ;

y est  la partie imaginaire de z noté: y = Im(z).

Egalité de deux nombres complexes

Deux  nombres complexes z et z’ son égaux si et seulement si :

 ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.

z = x+ i y   et z’ = x ‘+ i y

    z = z’    ⇔   Re(z) = Re(z’) et Im(z) = Im(z’)

x+ i y  = x ‘+ i y ‘   ⇔   x= x ‘  et  y = y ‘  

Soit z un nombre complexe, alors :

[ x+ i y   = 0 ⇔  x = 0 et y = 0 ]

Opérations sur les nombres complexes

Tous les règles de calcul dans addition , multiplication s’applique aussi dans sans oublier i² = – 1

Par conséquent constitue une extension algébrique de .

Soit   deux nombres complexes   z = x+ i y   et z’ = x ‘+ i y

   x et y sont deux nombres réels  et k nombre réel

La somme de z et z’ est   : z+z ‘=  (x+x ‘ )+i(y+y).

Le produit de z et z’ est défini par : z z ‘=( x x ‘ – y y)+i (x y+ y x ‘ )

Soit z et z’ deux nombres complexes , sous  algébrique  avec z≠0

L’inverse  de z ≠0 est :

(x+ i y) (x- i y) =x²+y²

Le quotient    de z ‘ par  z ≠0  est :

Exemple 1:

(a+bi)² = (a+bi) (a+bi) = a²+abi+abi+(bi)² = a²+2ab i- b²

(a-bi)² = (a-bi) (a-bi) = a² – abi – abi + (bi)² = a² – 2abi – b²

(a+ bi) (a – bi) = a² – abi + abi – (bi)² = a² + b²

Exemple 2 :

Calculer sous forme algébrique (3+4i)/(5+2i)

Réponse

(3+4i)/(5+2i) = (3+4i)/(5+2i) × (5-2i)/(5-2i)

= (23+14i)/(25+4) = 23/29+14/29 i

Conjugué d’un nombre complexe

Définition

Soit  z = x+ i y  un nombre complexe  où   x et y sont deux nombres réels 

Le nombre complexe x- i y s’appelle le conjugué de z on le note : z ̅

z ̅=x- i y

Le conjugué de z ̅ est : z ̿ =z

zz ̅=x² +y²

z+ z ̅=2Re(z) z – z ̅=2i Im(z)

z est un nombre réel si et seulement si z=z ̅

z est un imaginaire pur si et seulement si z ̅=−z

Opérations sur le conjugué  des nombres  complexes

Soit z et z’ deux nombres complexes, alors

(z+z’) ̅=z ̅+z ̅’

(z×z’) ̅=z ̅×z ̅’

z ≠0 

Voici quelques exercices :

et

exercices corrigés des nombrescomplexes

Représentation géométrique d’un nombre complexe

Le plan P muni d’un repère orthonormé direct ( O , u ⃗ , v ⃗ )

x et y  deux nombres réels 

A tout nombre complexe  z = x + i y   , on associe le point  M de coordonnées (x ; y) dans le  repère orthonormé direct ( O , u ⃗ , v ⃗ )

On dit que :

  • le point  M est  l’image du nombre complexe  z.  on l’écrit  M(z)
  • (OM) ⃗ est le vecteur image du nombre complexe z on l’écrit OM(z)
Représentation géométrique d'un nombre complexe

Affixe d’un point

A tout point M(x ; y) du plan P  on associe le nombre complexe z = x + i y on dit que

z est  l’affixe du point M on la note zM

Affixe d’un vecteur

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct  ( O , u ⃗ , v ⃗ )

Définition

A tout vecteur W de coordonnées (x , y) , on associe le nombre complexe z = x + i y.

z s’appelle l’affixe du vecteur W

 Théorème

Si M et M’  deux  points  dans un même repère orthonormé, leurs affixes sont  respectivement  𝒛𝑴 et 𝒛M’  alors l’affixe du vecteur (MM’) ⃗  est égal à 𝒛M’−𝒛𝑴 : Affixe (MM’) ⃗ )= 𝒛M’−𝒛𝑴

Affixe d'un vecteur

Explication :

 𝑧𝑀=𝑥+𝑖𝑦       a  pour   coordonnée  M (𝑥 ;y)

 𝑧𝑀′=𝑥′+𝑖𝑦′    a  pour   coordonnée  M’ (𝑥′ ; 𝑦′)

Donc le vecteur   (MM’) ⃗     a pour coordonnées (𝑥′−𝑥 ; 𝑦′−𝑦)

Donc , par définition, l’affixe de (MM’) ⃗  est    (𝑥′−𝑥) + 𝑖 (𝑦′−𝑦) = 𝒛M’−𝒛𝑴

 Exemple :

        Soit A d’affixe zA = -3 + 2i et B d’affixe zB = 3 + 4i

Alors l’affixe de AB ⃗  est:    zBzA = (3 + 4i) – (-3 + 2i) = 3 + 4i + 3 – 2i = 6 + 2i

Affixe du milieu d’un segment

 Si I est le milieu du segment [AB]

Alors:

Affixe du milieu d’un segment

Module d’un nombre complexe

Définition

 Soit 𝒛 = x+ i y  un nombre complexe non nul, x et y sont deux nombres réels

Le module de 𝒛   noté |𝒛|, est la longueur OM  

C’est-à-Dire:

Module d’un nombre complexe

Théorème

soit  les points A et B ont pour affixes 𝑧A  et𝑧B   alors

A (𝑧A )    a  pour   coordonnée  A (𝑥A ; yA)

B(𝑧B )   a  pour   coordonnée  B (𝑥B ; yB)

theorème nombres complexes

Exemple :

Soit A d’affixe zA = -3 + 2i et B d’affixe zB = 3 + 4i

Alors l’affixe de AB ⃗  est :  zBzA = (3 + 4i) – (-3 + 2i) = 3 + 4i + 3 – 2i = 6 + 2i

Exemple :

La distance AB de l’exemple précédent est :

Opérations sur le module  des  nombres complexes

 Soit z et z’ deux nombres complexes

|z×z’|=|z|×|z’|

|z ̅ |=|-z|=|z|

Argument d’un nombre complexe

Soit 𝒛  un nombre complexe non nul  et M son image sur le plan complexe  d’un repère orthonormé direct ( O , u ⃗ , v ⃗ )

On appelle l’argument de z est une des mesures,

de l’angle orienté    

On le noté 𝐚𝐫𝐠 (𝒛) exprimée en radian,  on l’écrit :

𝐚𝐫𝐠 (𝒛) ≡ ( u ⃗, (OM) ⃗ ) [2π] ≡ 𝜽 [2π]= 𝜽+2kπ k∈ℤ

Théorème

Soit   un nombre complexe non nul 

𝐚𝐫𝐠 (-z ) ≡ π+𝐚𝐫𝐠 (𝒛) [2π]

𝐚𝐫𝐠 (z ̅ ) ≡ – 𝐚𝐫𝐠 (𝒛) [2π]

Operations sur Argument des nombres complexes

Soit 𝒛 et 𝒛′ deux nombres complexes non nul

𝐚𝐫𝐠 (𝒛 x 𝒛′)≡ 𝐚𝐫𝐠 (𝒛)+𝐚𝐫𝐠 (𝒛′) [2π]

𝒂𝒓𝒈 ( 1/z ) ≡ −𝐚𝐫𝐠 (𝒛) [2π]

𝒂𝒓𝒈 (z/z’ ) ≡ 𝐚𝐫𝐠 (𝒛)−𝐚𝐫𝐠 (𝒛′) [2π]

𝒂𝒓𝒈 (z^n) ≡ n 𝐚𝐫𝐠 (𝒛) [2π] n ∈ℤ

Exemple :

Soit A d’affixe zA = 2 + 5i et B d’affixe zB = 3 + 4i

L’affixe de AB est : zB – zA = (3 + 4i) – (2 + 5i) = 3 + 4i – 2 – 5i = 1 – i

Operations sur Argument des nombres complexes

Forme trigonométrique d’un nombre  complexe

Définition

Tout nombre complexe z  non nul  peut s’écrire sous la forme :

𝒛= 𝒓 (𝒄𝒐𝒔𝜽+𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽) où 𝒓=|𝒛| et 𝜽≡ 𝐚𝐫𝐠 (𝒛) [2π]

Cette écriture s’appelle forme trigonométrique de 𝒛

Théorème

Soit  𝒛  un nombre complexe non nul 

Si 𝒛= r (𝒄𝒐𝒔𝜽+𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽) et r>0 donc |𝒛| = 𝒓 et 𝐚𝐫𝐠 (𝒛) = 𝜽 [2π]

Egalités de deux nombres complexes écrits sous forme trigonométrique

Soit deux nombres complexes 𝒛 et 𝒛’ non nuls

𝒛 = 𝒛’ ⇔ ( |𝒛| =|𝒛’ | et 𝐚𝐫𝐠 (𝒛) ≡ 𝐚𝐫𝐠 (𝒛’) [2π] ).

Relation  entre la forme algébrique et trigonométrique d’un nombre complexe

Théorème

Soit  z un nombre complexe non nul  on peut l’écrire  sous deux formes :

Soit z = r (𝒄𝒐𝒔𝜽+𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽) forme trigonométrique

z = x + i y forme algébrique

On a :

Voici des applications numériques

Application à la géométrie

On considère quatre points distincts A, B, C, d’affixes respectives zA, zB , zC .

Angle orienté

 Pour tous points A, B, C et D d’affixes respectives zA, zB , zC, zC  tels que (A≠B) et (C≠D), on a : 

Colinéarité et orthogonalité

Propriété 3 :

Alignement de 3 points distincts ou parallélisme de deux droites

Propriété 4 : orthogonalité

Pour montrer l’orthogonalité de deux droites. Pour A≠B et C ≠D

Donc

Les  trois  points A, B, C   d’affixes respectives zA, zB , zC

A, B et C sont alignés si et seulement si :

Nature d’un triangle

Pour montrer qu’un triangle ABC est :

Isocèle en A : AB = AC ⇔ |zB − zA| = |zC − zA|

Ecriture complexe d’une translation

Soit M(z) un point du plan d’affixe z et u  un vecteur quelconque du plan.

M’ c’est l’image du point M par la translation t de vecteur u

 

ecriture simple d'une translation

Ecriture complexe d’une homothétie

Dans le plan complexe  d’un repère orthonormé direct ( O ,u , v)

Soient deux points distincts M(z) d’affixe  z  et Ω(ω) d’affixe ω 

 M’ est l’image du point M par l’homothétie h de centre Ω et de rapport k.

L’écriture complexe de l’homothétie h de centre Ω d’affixe ω , et de rapport k est :

Ecriture complexe d'une homothétie

Expression complexe d’une rotation

Dans le plan complexe  d’un repère orthonormé direct ( O, u, v )

Soient deux points distincts M(z) d’affixe  z  et Ω(ω) d’affixe ω 

M’ est l’image du point M par rotation r de centre Ω et d’angle 𝜽.

Expression complexe d'une rotation

Expression complexe d’une symétrie centrale

M’ est l’image du point M par la symétrie S de centre Ω cela signifie que Ω est le milieu du segment [MM’],

Expression complexe d'une symétrie centrale

Notation d’un nombre complexe  exponentielle

Tout nombre complexe non nul z de module r et d’argument 𝜽 peut s’écrire sous forme exponentielle 

Lire aussi : primitive d’une fonction

1 commentaire
  1. […] Lire Aussi : Nombres complexes […]

Laisser un commentaire

Votre adresse email ne sera pas publiée.