Oscillations libres d’un Circuit RLC : Cours Complet

circuit rlc

Cours pour les étudiants en Terminale, Bac, Université ( Deug )

Décharge oscillante d’un condensateur dans une bobine

 Observation d’oscillation électrique

Activité 1

Suivre l’évolution de la tension aux bornes d’un condensateur chargé, branché aux bornes d’une bobine.

On constitue un circuit RLC en associant en série :

  • un rhéostat de résistance ajustable r’ 
  • un condensateur de capacité C 
  • une bobine d’inductance L  de résistance r

La résistance équivalente du montage est notée R = r + r’.

Circuit rlc en série

Pour charger le condensateur par le générateur :

Placer L’interrupteur (K) en position 1,

 Lorsque la charge aux bornes du condensateur atteint la tension Uc = E

Basculer L’interrupteur (K) en position 2.

La voie Y1 est reliée à l’oscilloscope à mémoire,  branché aux bornes du condensateur pour suivre l’évolution de la tension

Vos observations et interprétation sur l’écran de L’oscilloscope ?

Observations et interprétations

L’interrupteur (K) étant sur la position (2), donc on a  un circuit (R,L,C) série où le condensateur se décharge dans le conducteur ohmique et la bobine.
La tension Uc(t) visualisée est alternative, elle diminue puis augmente successivement cela montre que le condensateur se décharge et se recharge  régulièrement : cette décharge est oscillante, elle évolue dans un sens puis dans l’autre.

 L’amplitude des oscillations décroît avec le temps, ces oscillations sont amorties, et aussi libre puisqu’ aucun énergie  de l’extérieur n’est fournit au circuit  donc ce sont des oscillations libres amorties.

pseudo-période T

Conclusion

La décharge d’un condensateur, dans une bobine d’un circuit (R,L,C) série , entraine l’ apparition des oscillations libres amorties. On dit que le circuit (R,L,C) série est un oscillateur électrique libre amortie .

L’amortissement est  dû à l’énergie dissipée par effet joule dans  la résistance R du circuit ( R = r’ + r).

Définition de la pseudo-périodique T :

On appelle pseudo-périodique T, le temps qui s’écoule entre deux valeurs maximales, consécutives de la tension Uc(t).

étude de l’amortissement des oscillations

Activité 2 :  

On reprend  l’activité 1  en  augmentant   les valeurs de  r’ . c.à.d  R= r’+r
Qu’observe-t-on ?

Observations et interprétations

Pour des valeurs faibles de R, on  observe des  oscillations qui durent longtemps dont l’amplitude décroit progressivement : une tension oscillante amortie c’est le régime pseudo-périodique.

Lorsqu’ on augmente la résistance R  l’amortissement est plus important.

Si on augmente encore la résistance R, on arrive à une valeur limite où il n’y a plus d’oscillations Pour des valeurs élevées de R  la tension Uc(t). tend  lentement vers zéro  c’est le régime apériodique.
La valeur de R qui délimite les deux régimes (pseudo-périodique et apériodique) appelée résistance critique on la note Rc   c’est Le régime critique correspond à un amortissement plus important.

pseudo-périodique et apériodique

Etude du pseudo -période

Activité 3

On est dans l’état  du régime pseudo-périodique.

on fixe la valeur de C puis on augmente  la valeur de L?

on fixe la valeur de L puis  on augmente  la valeur de C?

Qu’observe-t-on ?

Observations et interprétations

Dans les deux cas on observe  que la pseudo-période T d’un circuit (R,L,C) augmente

Donc la pseudo-période T d’un circuit (R,L,C) augmente avec la capacité C et avec l’inductance L.

Equation différentielle la tension aux bornes du condensateur d’un circuit (R,L,C) série

circuit (R,L,C) série

    En appliquant  la loi de la maille

Ur et Ul

L’équation différentielle du circuit (R,L,C) série vérifiée par UC(t) la tension aux bornes du condensateur est :

circuit rlc

Le terme RLC traduit l’amortissement des oscillations électriques, et sa valeur permet de définir  les différents régimes.

– Pour une inductance L, et une capacité C fixées, on observe trois régimes différents de l’évolution  de UC(t)  suivant la valeur de la résistance R

Dans le cas du régime pseudo-périodique , la solution de l’équation différentielle s’écrit :

Etude de l’oscillateur non amorti  (L,C)     

             

 On considère un circuit dans lequel on néglige toutes les résistances. Il est constitué d’un condensateur de capacité C et d’une bobine idéale d’inductance L

bobine idéale d’inductance L

Etablissement de l’équation différentielle

On applique la loi d’additivité des tensions :

tension uc

Conclusion

Durant les oscillations électriques libres non amorties d’un circuit (L,C)

 la tension aux bornes du condensateur obéit à l’équation différentielle :

tension aux bornes du condensateur

Résolution de l’équation différentielle

Pour l’équation différentielle :

tension

mathématiquement sa solution s’écrit de la forme suivante :

résolution de l'équation différentielle

Avec Um, T0 et φ sont trois constantes à déterminer

  • Um : Amplitudes de la tension UC
  • φ : la phase à l’instant t=0  Elle s’exprime en radian   (rad)
  • T0 : la période propre des oscillations Elle s’exprime en seconde  (s)
  • (2π/t0) t+ φ )  : La phase à l’instant (t)

Vérification de la véracité d’une solution

Montrons que la solution proposée est bien solution de l’équation différentielle

Rappel :     derivé d’une fonction composée

                 (cos uC)’ = – sin uC x uC

(sin uC)’ =  cos uC x  uC

expression de la période propre des oscillations

Conclusion :

La fonction

solution d'équation

est solution de l’équation différentielle 

tension

T0 période propre des oscillations ne dépend que de L et C . son unité dans le système international est le seconde (s) .

Vérification de l’unité de T0 par analyse dimensionnelle

analyse dimensionnelle

La période propre dont l’expression est :

la période propre

a bien la dimension d’un temps et s’exprime en seconde.

 Détermination des constantes Um et φ

Utilisation des conditions initiales

  • à l’instant t = 0, le condensateur est chargé  donc  UC(0) = E
  • à l’instant t = 0    
i(0)

 L’intensité est nulle : i(0) = 0 la bobine n’est traversée par aucun courant électrique.

On étudie donc la “décharge” du condensateur :

décharge du condensateur

Par conséquent  Expression de la tension aux bornes du condensateur s’écrit :

expression de la tension

La tension aux bornes du condensateur est une tension alternative sinusoïdale d’amplitude E et de période : T0   c’est un  régime périodique

Intensité du courant dans le circuit LC

intensité du courant

Etude énergétique

Cas d’un circuit LC

Dans un circuit LC, l’énergie totale du circuit   ET = EC + EL

  • EC : l’énergie électrique stockée dans le condensateur
  • EL : l’énergie emmagasinée dans la bobine
  • ET: l’énergie total
circuit lc

Dans un circuit LC, l’énergie totale du circuit est constante au cours du temps

ET = EC + EL= constante

L’énergie totale se conserve car l’énergie n’est pas dissipée (pas d’effet joule),

énergie totale

Lorsque l’énergie stocké  dans le condensateur diminue, l’énergie de la bobine augmente et inversement, donc il y a un échange d’énergie entre le condensateur et la bobine au cours d’une  période T0/2

 Temps Energie EC Energie EL
t0 EC maximum 0
t1 0 EL maximum
t2 EC maximum 0
t3 0 EL maximum
t4 EC maximum 0

échange d'énergie

Cas d’un circuit RLC

Dans un circuit RLC, l’énergie totale est ET = EC + EL

cas circuit rlc

Dans un circuit RLC, au cours de l’échange énergétique entre le condensateur et la bobine, il y a  perte énergétique par effet Joule dans la résistance de puissance R×i²

energie

ET= EC + EL ≤  1/2CE2

Entretien des oscillations

Pour le circuit (R,L,C) série, l’amplitude des oscillations décroît à cause  d’une dissipation d’énergie par effet Joule dans le conducteur ohmique.

il est possible d’entretenir les oscillations pour obtenir une amplitude constante des oscillations

Donc Il faut ajouter un dispositif  électronique au le circuit (R,L,C)  pour qu’il devienne équivalent à un circuit LC  .Ce dispositif d’entretien des oscillations possède  une alimentation propre « appelé résistance négative »  possible de fournir au circuit  à chaque instant une énergie équivalente à l’énergie  dissipée par effet joule. L’énergie totale du circuit reste alors constante

 La tension aux bornes de dispositif d’entretien a pour expression US(t) = – Ro i(t)

Le dispositif se comporte comme une résistance R0 négative.

Montage à résistance négative

résistance négative

On applique la loi d’additivité des tensions  :

 loi d’additivité

loi

On choisit la résistance réglable R0   égale à R  (résistance  du circuit RLC) donc  l’équation devient :

equation rlc

En fin On  aboutit à une équation différentielle semblable à l’équation du circuit LC.

le circuit R LC devient équivalent à un circuit LC et oscille avec une période propre T0 qui dépend seulement à L et C :

LC

Publié par aliwiss

Webmaster, après avoir fini mes études dans la faculté des sciences et techniques au Maroc , Branche : LST ingénierie de l'eau et de l'environnement, J'ai commencé mes business sur le web

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