Circuit (R,L,C) Série en régime sinusoïdal forcé

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cours : circuit RLC série en régime sinusoîdal forcé pour le terminale

Le régime alternatif sinusoïdal

Intensité du courant alternatif sinusoïdal

L’intensité du courant alternatif sinusoïdal  s’écrit sous la forme suivante :

i(t) = Im  cos ti)

Im : l’amplitude maximal , son unité  est ampère (A)

ω :  la pulsation du courant son unité est rad/s

 ωti: la phase du courant à l’instant t . Son unité est rad

φi : La phase à t=0

Intensité efficace du courant :

On note l’intensité efficace d’un courant alternatif sinusoïdal par Ieff et on l’exprime par la relation suivante :

intensité efficace

L’ampèremètre utilisé en courant alternatif indique la valeur de l’intensité efficace.

La tension alternative sinusoïdale

La tension alternative sinusoïdale  s’écrit sous la forme suivante :

u(t) = Um  cos t + φu)

Um : l’amplitude maximal de u(t)   unité volt (V)

ω : la pulsation de u(t) , son unité est rad/s

ωt + φu: la phase de u(t) à l’instant t , unité est rad

φu : La phase à t=0

La tension efficace U

La tension efficace Ueff  est exprimée par la relation suivante :

tension efficace

Le voltmètre utilisé en courant alternatif indique la valeur efficace de la tension

Notion de  phase

On considère deux grandeurs alternatives sinusoïdales :

i(t) = Im  cos ti)

u(t) = Um  cos t + φu)

Le déphasage ji/u de u(t) par rapport à i(t) est : φu/i = φu– φi

le déphasage

Mesure du déphasage entre deux signaux sinusoïdaux à l’aide d’un oscilloscope.

Le décalage horaire

Définition :

Le décalage horaire τ est l’intervalle de temps qui sépare deux maximums successifs ou 2 annulations successives des 2 fonctions sinusoïdales quand elles varient dans le même sens.

 L’expression du déphasage à partir des mesures de la période T et du décalage τ est

mesure période

φu/i= 2 π (τ / T)  j  s’exprime en radians

Identification du signal en avance ou en retard :

Le signal qui est en avance de phase par rapport à l’autre est celui qui s’annule avant l’autre lorsque les deux signaux sont dans le même sens.

φu/i    mesure l’avance et la retard de chaque fonction par rapport à l’autre.

φu/i > 0    :    u(t) est en avance sur i(t)

φu/i < 0    :    u(t) est en retard sur i(t)

φu/i = π/2 :     u(t) et i(t) sont en quadrature de phase

φu/i = π    :      u(t) et i(t) sont en en opposition phase

φu/i = 0   :        u(t) et i(t) sont en phase .

Étude expérimentale du circuit (R,L,C) série en Régime alternatif sinusoïdal

Activité 1

Visualisation de la tension u(t) aux bornes d’un circuit (R,L,C) et i(t) en fonction du tempsو

On alimente le circuit RLC série avec un générateur de basse fréquence (G.B.F) délivrant une tension sinusoïdale u(t)=Um sin(wt+ju).

On fixe la  fréquence sur N = 100Hz  et   Um = 2V    

circuit RLC série avec un générateur de basse fréquence

A l’aide  d’un oscilloscope :

la tension uR(t) sera visualisée  sur la voie Y1

la tension u(t) sera visualisée  sur la voie Y2,

A l’aide d’un ampèremètre :

On mesure  l’intensité efficace I du courant qui traverse le circuit

A l’aide  d’un  voltmètre

On mesure  la tension efficace U aux bornes du circuit (R,L,C) .

On obtient les oscillogrammes suivants

oscillogrammes

Exploitation des résultats

Sur la voie Y1  il apparaît  une fonction sinusoïdale qui représente la tension aux bornes de la résistance  R   uR(t).

La  visualisation de la tension uR(t) nous permet de visualiser l’intensité instantanée i(t)

D’après la loi d’Ohm , on a  uR(t) = Ri(t)  la tension est inversement proportionnel à i(t)

Donc Il apparaît dans le circuit un courant électrique d’intensité :  i(t) = Im  cos t )

En faisant varier la fréquence du G.B.F, on remarque, en utilisant les oscillogrammes, que les deux tensions u(t) et uR(t)  ont la même période (même fréquence) ,

La fréquence des oscillations de la tension uR(t)   est imposée par le générateur,: on dit que les oscillations sont forcées.

Le générateur joue le rôle de l’excitateur.

Le dipôle RLC en série joue le rôle du résonateur.

Impédance circuit R-L-C série.

Activité 2

On fixe la fréquence f1 = 100 Hzde la tensionimposée par le GBF et on fait varier sa valeur efficace Ueff.. On mesure alors l’intensité efficace Ieff  qui parcourt le circuit.

On recommence l’expérience pour une fréquence f2 = 500 Hz.

on les regroupe les valeurs prise dans le tableau suivant :

  Ueff (V) 5 10 15 20
f1=100 Hz Ieff (A) 0,07 0,13 0,20 0,27
f2=500 Hz Ieff (A) 0,07 0,13 0,20 0,27

On  trace la courbe

fréquence

On remarque que, pour chacune des fréquences choisies, Ueff  est inversement proportionnelle  à Ieff..  avec Z un facteur de proportionnalité.

facteur de proportionnalité

Ueff  tension efficace mesurée par le voltmètre.

Ieff. intensité efficace mesurée par l’ampèremètre.

Z est appelé : l’impédance du circuit RLC série son unité dans le système internationale est Ω.

Influence de la fréquence

Lorsqu’on fait varier la fréquence du circuit (R,L,C) on observe que l’impédance Z change, donc l’impédance Z dépend de la fréquence du circuit.

Etude théorique du circuit (R,L,C)

But :

Déterminer l’Impédance du circuit RCL en série

Déterminer l’angle de déphasage du circuit RCL en série

Un circuit (R,L,C) en série alimenté sous une tension alternative sinusoïdale est traversés par le même courant alternatif sinusoïdal. Autrement dit, le courant qui traverse la résistance, l’inductance et la capacité branché en série  est le même et identique courant.

i(t) = Im  cos t)

u(t) = Um  cos t + φ)

φ :phase de u(t) par rapport à i(t)

Un circuit (R,L,C) en série alimenté sous une tension alternative sinusoïdale

A l’aide de vecteur de Fresnel  on facilite les calculs.

I°/ Le vecteur de Fresnel associé à une grandeur sinusoïdale :

On associe à une fonction sinusoïdale du temps y = a  cos t + φ) un vecteur  appelé vecteur de Fresnel :

vecteur

La tension aux bornes de la résistance

Un courant i(t) va traverser la résistance et pour chaque instant  t  on a :

uR(t) =Ri(t) =RIm  cos t)

Le courant et la tension sont en phase  ∆φ = 0

Représentation de Fresnel correspondante :

Représentation de Fresnel

La tension aux bornes de la bobine

Un courant va traverser l’inductance et pour chaque instant t on a :

courant traverser l'inductance

Représentation de Fresnel correspondante :

fresnel

La tension aux bornes de condensateur

Représentation de Fresnel correspondante :

uR,  uL,  udéjà calculer donc d’après La loi d’addition des tensions :

u(t)= uR+ uL+ uC

loi d’addition

Mathématiquement  la somme de cette équation  est à la forme :

equation u(t)

On utilise la méthode  de Vecteurs de Fresnel pour  simplifier l’équation

 u(t)= uR+ uL+ uCen valeurs instantanées

vecteurs de fresnel

On a un triangle rectangle  en  A donc appliquons le théorème de Pythagore on écrit :

   OA2 + AB2 =OB2  

Détermination l’Impédance du circuit RCL en série

Impédance du circuit RCL en série

On constate que l’impédance Z est en fonction de la pulsation ω

Détermination l’angle de déphasage

angle de déphasage

On constate que l’angle de déphasage est en fonction de la pulsation ω

Phénomène de résonance d’intensité

Activité 3

On réalise le montage électrique où le générateur à basse fréquence alimente le circuit (R,L,C) série d’une tension alternative sinusoïdale de valeur efficace U et de fréquence f  réglables .

– Une bobine d’inductance L=5,2mH et de résistance r = 7Ω.

– Un condensateur de capacité C = 0,47F.

Fixer  la tension efficace sur la valeur U=4V et la résistance globale R = r+r’ sur la valeur R1 = 37Ω.

Faire varier la fréquence f du générateur en  mesurant l’intensité efficace I du courant.

Régler la résistance globale R sur la valeur R2 = 107Ω en faisant varier la résistance r′ du conducteur ohmique et répéter l’étape précédent de l’expérience.

résistance globale R

On regroupe les résultats dans le tableau suivant :

Tableau R1

1. Représenter dans le même repère les deux courbes I en fonction de pour les deux résistances R1 et R2 du circuit

I en fonction de f

Exploitation des résultats

Définition

Le circuit est à la résonance d’intensité lorsque l’intensité efficace est au  maximum.

Le phénomène de résonance apparaît, lorsque la fréquence de résonance imposé par le générateur devient  égale à la fréquence propre du circuit (R,L,C) 

fréquence de résonance

Questions

D’après la courbe déterminer  la fréquence de résonance  f   et Intensité I0.

Calculer la fréquence propre f0  du résonateur du circuit l’oscillateur RLC.

Calculer la fréquence propre

Comparer entre  les 2 valeurs  f   et    f0.

Calculer Z l’impédance du circuit  à la résonance  et la comparer avec la résistance globale R du circuit dans les deux cas.

impédance du circuit

La résonance correspond à un maximum d’intensité, donc à une impédance minimale

Observation et Interprétation

Lorsque la fréquence  du générateur « excitateur »  varie, l’intensité dans le circuit (R,L,C) « résonateur » varie : elle augmente peu à peu, passe par un maximum pour une fréquence « appelée  fréquence de résonance », puis diminue à nouveau.

D’après la courbe I=f(N)

On détermine de la fréquence de résonance 

La fréquence de résonance  f  = 3250Hz est le même pour deux résistances

R1 =37Ω et R2 = 107Ω

L’intensité efficace maximale  à la résonance pour R1 = 37Ω    est  I0= 105 mA

L’intensité efficace maximale  à la résonance pour R2 = 107Ω    est  I0= 37 mA

Le calcul de la fréquence propre f du circuit

fréquence propre

 On remarque       f0f

Le phénomène de résonance apparaît, lorsque la fréquence du générateur « excitateur »  s’identifie à la fréquence propre du circuit (R,L,C).

On détermine l’impédance du circuit à la résonance

 L’impédance du circuit à la résonance : pour la courbe R1

courbe r1

L’impédance du circuit à la résonance : pour la courbe R2

courbe r2

le calcul de  l’impédance du circuit est à peu près égale à la résistance globale du circuit

À la résonance, l’impédance du circuit (R,L,C) est égale à la résistance  globale du circuit  le circuit (R,L,C) se comporte comme un inducteur ohmique de résistance Z= RT.

Le rôle de la résistance globale du circuit.

Tant que  la résistance R du circuit est petite , l’intensité efficace maximale du courant à la résonance est grande et la résonance est aiguë . (amortissement du circuit est faible)

Si R est grande l’intensité efficace maximale du courant est petite et la résonance est floue .

 (l’amortissement du circuit est fort),

On détermine La phase φ à la résonance

À l’aide d’un oscilloscope, on observe qu’à la résonance i(t) et u(t) sont en phase φu/i = 0.

phase φ à la résonance

Bande passante

La bande passante à – 3 dB d’un  circuit (R, L, C) série correspond à l’intervalle des fréquences [f1; f2] du générateur, pour lesquelles le circuit donne une réponse (en intensité) importante  pour laquelle l’intensité efficace I du courant vérifie la relation suivante:

bande passante

I: intensité efficace à la résonance

Détermination  de la bande passante

Pour la résistance R1 = 37Ω    I0= 105 mA

largeur bande passante

Pour R2 = 107Ω    est  I0= 37 mA

Si R est petite   la bande passante  Δ f   est petite la résonance est  aiguë

Si R est grande la bande passante Δ f   est grande  la résonance est floue

Facteur de qualité

Le facteur de qualité Q correspond à :

facteur de qualité

Détermination de  facteur de qualité Q

Pour la résistance R1 = 37Ω    I0= 105 mA

Pour R2 = 107Ω    est  I0= 37 mA

Remarque

 Le circuit est d’autant plus sélectif que Q est sera grand.

Autant que la résonance est aiguë plus la valeur de Q est grande.

Etude théorique

Détermination de la fréquence à la résonance

Détermination d’impédance du circuit à la résonance

à la résonance  l’Impédance du circuit (R,L,C)  est minimal

détermination de la résonance

Détermination la phase φ à la résonance.

vu précédemment  que

à la résonance les deux tensions  u(t) et uR(t), sont en phase  alors  i(t) et u(t) sont en  phase

Détermination  de la bande passante

On considère  la fonction I= f(ω)  représenté par la courbe suivante

fonction I(F)

On raisonne ici avec les pulsations   ω=2πf

Cherchons ω1 et ω2  pour délimiter  la bande passante c.à.d. [ω1, ω2

La largeur de  la bande passante est  :     Δw = ω2 – ω1    

i

à la résonance l’intensité est maximal et impédance est minimal égal à la résistance ohmique.

Alors

résonance maximale

Dans le cas où R est petite le circuit très peu résistif et la bande passante est étroite. On dit que le circuit est très sélectif .

Détermination de Facteur de qualité

Le facteur de qualité Q correspond à :

facteur de qualité q

w0 la pulsation propre du circuit (R,L,C)   Δw  La largeur de  la bande passante 

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