Étude énergétique du pendule élastique horizontal
Travail de la force exercée sur l’extrémité d’un ressort
Rappel
Travail d’une force constante
On exprime le travail d’une force constante lors du déplacement quelconque du point d’application de A vers B par la relation:
F exprimée en newton (N) et le travail W exprimé en joule (J) .
Le travail d’une force constante ne dépend pas de la trajectoire suivie par son point d’application , il ne dépend que de la position initiale et finale .
Travail d’une force variable et d’un déplacement non rectiligne
Lors du déplacement de A vers B où la force change et le trajet n’est pas rectiligne, on divise le trajet en petits éléments rectilignes parcourus durant un temps Δt—-0 sur lesquels on considère que la force F reste pratiquement constante.
Le travail élémentaire effectué par la force est:
Le travail effectué par la force entre les points A et B est égal à la somme des travaux élémentaires :
Pour calculer la somme d’une façon plus précise on remplace le symbole somme par le symbole intégrale
Travail de la force de rappel du ressort d’un pendule élastique horizontal
On sait que la force de rappel du ressort s’écrit:
Durant le déplacement infinitésimal la force reste pratiquement constante alors Le travail infinitésimal que la force effectue lors d’allongement dl du ressort s’écrit :
dW = .=-K x. dx=-K x dx
Le travail que la force F effectue pour que l’allongement de ressort passe de la position A d’abscisse xA à la position B d’abscisse xB est :
Unités : W est en joule (J) – K en newton par mètre (N / m) – X en mètre (m)
On constate que le travail de cette force ne dépend pas du chemin suivi, il est « conservative ».
Énergie potentielle élastique du système horizontale
Un ressort de de raideur k possède de l’énergie potentielle élastique notée EPe , lorsqu’il est allongé ou comprimé d’ une élongation x, son expression est:
Unité: Ep (J), k (N.m-1), x(m).
Par convention on choisit Ep = 0 pour x = 0 donc C = 0 et
- x = Δl est l’allongement du ressort en mètre
- C : La constante dépend du choix de l’état de référence de l’énergie potentielle.
La variation d’énergie potentielle élastique d’un ressort est l’énergie transférée durant son allongement de xA à xB s’écrit:
Le travail de la force de rappel calculé déjà est:
D’où:
Énergie cinétique
L’énergie cinétique EC du pendule élastique est celle du solide(S) en translation, puisque la masse du ressort est négligeable, l’expression de EC en fonction du temps s’écrit:
Unité EC : joule (J)
Énergie mécanique du système horizontale
L’énergie mécanique du système {solide, ressort} dans le plan horizontal est la somme d’énergie potentielle et d’énergie cinétique : Em = Ec + Ep
l’état de référence est pris (Ep = 0)
Conservation de l’énergie mécanique
Cas de frottement négligeable
Nous avons vu que l’équation différentielle du mouvement est : donc Em est constante ,l’énergie mécanique se conserve.
Calculons l’énergie mécanique d’un ressort élastique en mouvement de translation.
l’énergie mécanique du système horizontal est constante en l’absence de frottement,: Em=cte
A l’instant t=0, début d’élongation initiale du ressort l’énergie potentielle Ep est maximum egal à Em alors que l’énergie cinétique Ec est nulle. Puis, Ep commence à diminuer en se rapprochant de la position d’équilibre, en même temps Ec augmente. l’objet passe par la position d’équilibre, Ep = 0 et Ec est maximum egal à Em. L’objet commence à se ralentir quand il dépasse la position d’équilibre donc Ec diminue.et Ep augmente.
on peut résumer cette rédaction par des courbes:
Étude énergétique d’un pendule de torsion
Travail du couple de torsion
Le moment du couple de torsion est : Mc = – C 𝜃̇
le travail élémentaire dWc du moment du couple torsion Mc lors d’un déplacement élémentaire d𝜃̇ est :
Le travail effectué lors du déplacement de la position A d’abscisse angulaire 𝜃̇A vers une position B d’abscisse angulaire 𝜃̇B est égal à la somme des travaux élémentaires :
d’où la valeur du travail:
On constate que le travail de ce couple de torsion ne dépend pas du chemin suivi
On peut calculer le travail du couple de torsion en appliquant le théorème d’énergie cinétique au système oscillant entre deux positions 𝜃̇1 et 𝜃̇2
Énergie cinétique
On définit l’énergie cinétique du système qu’est en rotation autour de Δ, par l’expression suivante
- JΔ: le moment d’inertie de la tige par rapport à l’axe de rotation matérialisé par le fil métallique
- : la vitesse angulaire de la tige à instant t .
Puisque : donc
D’où l’expression de EC:
calculons le travail du couple de torsion en appliquant le théorème d’énergie cinétique entre deux positions 𝜃̇1 et 𝜃̇2
Cette expression montre que le travail du couple de torsion entre ces deux position est égale à la la variation de l’énergie potentielle de torsion
Énergie potentielle de torsion
Un fil de torsion tordu possède une énergie potentielle de torsion EP d’expression:.
Cte : constante dépend de l’état de référence de l’énergie potentielle de torsion
Énergie mécanique du système oscillant
L’énergie mécanique d’un pendule de torsion est défini par la relation suivante :
Conservation de l’énergie mécanique
On dérive l’expression de Em par rapport au temps :
En cas de frottement négligeable, le pendule de torsion est libre non amorti donc son équation différentielle s’écrit:
Par conséquent: donc Em est constant cela montre que l’énergie mécanique d’un pendule de torsion libre et amorti se conserve
Diagramme d’énergie d’un pendule de torsion :
Lorsque la tige passe par sa position d’équilibre : Ep=0 ,
Dans la position 𝜃̇=𝜃m 𝐸𝑐=0 , ,
Étude énergétique d’un pendule pesant
Énergie cinétique d’un pendule pesant
Le mouvement du pendule pesant est un mouvement de rotation oscillatoire, son énergie cinétique a pour expression:
- JΔ : moment d’inertie du pendule par rapport à l’axe Δ exprimé en kg.m2
- : vitesse angulaire du pendule en rad/s
- Ec: énergie cinétique en joule (J) .
L’énergie potentielle de pesanteur d’un pendule pesant est donnée par l’expression suivante :
Epp = mg z+C
- m : la masse du pendule en (kg),
- g: intensité de pesanteur en (ms-2 ),
- z : l’altitude du centre d’inertie G du système sur l’axe (O,z) d’un repère orthonormé orienté vers le haut
- C: dépend de l’état de référence pris pour EPP , l’énergie potentielle est nulle (Epp,réf= 0 )
Énergie potentielle de pesanteur
ZG indique la position du centre d’inertie du pendule pesant
ZG =O’G0=OG0 – OO’=OG – OO’ avec OO’=OG.cos(𝜃̇)
ZG=OG – OG.cos(𝜃̇)=OG (1- cos(𝜃̇) )
Si on prend la position d’équilibre (𝜃̇=0) comme état de référence C=0,
Epp = mg OG[1- cos(𝜃̇) ]
Pour des faibles oscillations (θ ⩽ 15°) on peut écrire l’approximation 1-cosθ ≃ 𝜃/2
alors l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur s’écrit donc
Énergie mécanique
L’expression de l’énergie mécanique du pendule pesant :
Em = Epp + Ec