Théorème des valeurs intermédiaires (Cours, Exercices Corrigés)

2 5 151

Le cours des théorème des valeurs intermédiaires avec les exercices corrigés destiné pour les étudiants du terminale s et es ainsi que les étudiants du lycée.

Le théorème

Soit une fonction continue sur un intervalle I   et   a, b deux  réels de  l’intervalle de   I

Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), il existe au moins un réel c  appartenant à [a, b] tel que f (c) = k.

 Voir la courbe :

La fonction de la courbe est  continue sur:

 l’ intervalle I[a, b]

La valeur C n’est pas  unique : f (c1) =  f (c2) =  f (c3) = k

Théorème des valeurs intermédiaires
Fonction Continu de a vers b ( théorème des valeurs intermédiaires

Conséquence :

Si f une fonction continue sur l’intervalle [a ; b] 

et si f(a) × f(b) < 0

Alors

 l’équation f(x) = 0  a au moins une solution sur l’intervalle [a ; b]

Voir la Courbe

courbe d'équation
théorème des valeurs intermédiaire

La fonction est continue sur l’ intervalle I[a, b]

 f(a) × f(b) < 0 alors :

les solutions  de l’équation f(x) = 0  x= c1 ,  x= c2,  x=  c

Fonction continue  et strictement monotone

Vocabulaire : Fonction monotone est une fonction soit croissant ou décroissant

Théorème

Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b]   alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un unique réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.

Fonction continue  et strictement monotone

Si f est croissant   f (a) £  k £ f (b)

L’image de I par f        

Si f est  décroissant   f (b) £  k £ f (a)

L’image de I par f        

Les Exercices corrigés de la théorème des valeurs intermédiaires.

Exercice 1

Soit la fonction définie sur par x3-x²-x+1

1) Montrer que la fonction f  est continue sur [-1 ;2].

2) Calculer  f(-1)  et  f(2)

3) En déduire que l’équation f(x) = 5    admet au moins une solution dans [-1 ; 2].

Corrigé

La fonction f est une fonction polynôme, donc elle est continue sur et en particulier Sur 

2)  on calcule        f(-1) =1   et      f(2)=10

3) Montrons que l’équation f(x) = 5     admet au moins une solution dans l’intervalle [-1 ; 2].

D’une part, f est continue sur l’intervalle [-1 ; 2]. D’autre part, comme

 Le théorème des valeurs intermédiaires permet d’affirmer que l’équation f(x) = 5       admet au moins une solution dans [-1 ; 2].

Exercice 2

1. Justifier que f est continue sur R

2. Calculer f(0) et f(1).

3. En utilisant le TVI montrer qu’il existe x0 ∈ [0, 1] tel que f(x0) = 0.

Corrigé 2

1. La fonction f est un polynôme,  donc  F(x) est Continue sur IR

2. f(0) = −1  et f(1) = 6 

3. La fonction f est continue sur  [0, 1] et  f(0) x f(1) <0,   

donc , par le TVI, il existe x0 ∈ [0, 1] tel que f(x0) = 0.

Exercice 3

Soit f   la fonction définie sur

Montrer que l’équation f (x)=2 admet une unique solution dans ]-∞, 0]

Corrigé 3

donc   f  est strictement décroissante sur   ]-∞, 0]

D’Après  le théorème des valeurs intermédiaires, on déduit que l’équation :

F(x) = 2 Admet une solution unique dans ]-∞, 0]

Et Finalement:

Pour toute incompréhension , laissez votre commentaire ci-dessous

CoursUniversel vous répondrai le plutôt possible

Le format PDF du cours sera disponible bientôt.

Voir aussi : Continuité d’une fonction

2 commentaires
  1. […] Voir Aussi : La théorème des valeurs intermédiaires […]

  2. Amhaouch.ahmed.60@gmail@gmail.com dit

    Très bon travil.

Laisser un commentaire

Votre adresse email ne sera pas publiée.

This website uses cookies to improve your experience. We'll assume you're ok with this, but you can opt-out if you wish. Accept Read More