Grandeurs variables périodiques

• Une grandeur variable : évolue au cours du  temps ;
• une  grandeur périodique :se reproduit identiquement à elle-même à intervalle de temps régulier,

Exemple :  u ou u(t) : tension,   i ou  i(t) intensité ; elles sont notées en minuscules.

• On peut les visualiser  avec un oscilloscope
• Elles sont  représentées sur l’ordonnée d’un graphique dont l’abscisse est le temps.

Période

La période  est la durée constante T, exprimée en seconde, qui sépare deux instants consécutifs, où la grandeur se répète identique à elle-même  u(t+T) = u(t)

Fréquence

La fréquence du signal est le nombre de périodes par secondes. Elle est égale à l’inverse de la période. f = 1/T s’exprime en en Hertz (Hz). (1 Hz = 1 s^-1)

Valeur instantanée 

La valeur instantanée est la valeur de la grandeur variable qu’elle prend à tout instant   notée  par une  minuscule : u(t) ou u  , i(t) ou i

Valeur moyenne

La valeur moyenne d’une grandeur de période T est:

S surface décrite par U(t) sur une période T.

Signal alternatif

Un signal est dit alternatif si sa valeur moyenne est nulle.

Valeur efficace

La valeur efficace d’une grandeur périodique  u est :

intensité efficace

On appelle intensité efficace, notée I, du courant variable i, l’intensité du courant
continu qui dissiperait la même énergie dans la même résistance pendant la même durée.

Grandeurs alternatives sinusoïdales

Une grandeur alternative sinusoïdale est une grandeur périodique dont   l’équation est une fonction sinusoïdale du temps.

L’expression temporelle de la tension est : u(t) = U_max sin (ωt + φ)

• u(t) : la valeur instantanée de la tension.
• ωt + φ : la phase à l’instant t exprimée en radian.
• φ : la phase à l’origine (t=0).
• ω : vitesse angulaire en rad/s, ω = 2πf = 2π/T.
• U_max : valeur maximale de u

Relation entre valeur efficace et valeur maximale :

U_max = U √2

• U: valeur efficace de u mesurée par un voltmètre AC« .

Représentation de FRESNEL

C’est la représentation graphique d’une grandeur sinusoïdale u(t) = U √2 sin (ωt + φ) par l’intermédiaire d’un vecteur de Fresnel, tournant avec la même vitesse angulaire ω  du signal sinusoïdal  u(t) .

• U : norme du vecteur Fresnel U égale  la valeur efficace de u(t)
• φ :angle orienté entre l’axe OX et le vecteur Fresnel appelé phase à l’origine (t=0)

Représentation par un nombre complexe

A une grandeur sinusoïdale u(t), on associe une grandeur complexe U. tel que : U = [U ; φ].

• U: module de U c’est  la valeur efficace de u(t)
• φ: argument de U c’est la phase à l’origine de u(t).

u = U√2 sin (ωt + φ)    ↔ U = (U ; φ) = U.cos φ + j U.sin φ

Déphasage

• u(t) = U √2 sin ( ωt + φ_u),
• i(t) = I √2 sin ( ωt + φ_i).

On appelle déphasage φ de la tension u par rapport au courant i, la différence entre la phase à l’origine φ_u de u et la phase à l’origine φ_i de i φ = φ_u – φ_i

• si φu > φi    alors φ > 0 on dit que i est en retard par rapport à u.
• si φ_u < φ_i alors φ < 0 on dit que : i est en avance sur u
•  φ = 0 : u et i sont en phase
•  φ = π : u et i sont en opposition de phase
• φ = π/2 : i est en quadrature retard par rapport à u
• φ= −π/2  : i est en quadrature avance par rapport à u

Loi d’Ohm en régime sinusoïdal

On considère un dipôle D passif, linéaire alimenté en régime sinusoïdal.

Puisque le dipôle est linaire, si u(t) est sinusoïdale de fréquence f, alors l’intensité du courant qui le traverse est aussi sinusoïdale et de même fréquence.

Les expressions des grandeurs u(t) et i(t) :

• u(t) = U √2 sin ( ωt + φ_u),
• i(t) = I √2 sin ( ωt + φ_i).

Enoncé

Pour un dipôle linéaire, alimenté en régime sinusoïdal à fréquence f donnée :

• Le rapport Z = U/I des valeurs efficaces de u(t) et i(t) est appelée impédance du dipôle et s’exprime en Ohm  ; il est est constant
• φ = φ_u – φ_i est le déphasage de la tension u par rapport à l’intensité i est constant

Conséquence :

A une fréquence donnée, le dipôle D est caractérisé par Z et φ

L’impédance d’un complexe se définit par :

Son admittance complexe est :

Y s’exprime en Siemens (S)

Dipôles élémentaires

Tout dipôle D passif et linéaire , vu comme un groupement constitué d’un ou plusieurs dipôles
élémentaires. Les dipôles passifs élémentaires sont : la résistance, l’inductance, le condensateur.

La résistance

• u_R(t) = U_R. √2 sin ( ωt + φ_u)      
• i_R(t) = I_R. √2 sin ( ωt + φ_i)

sachons que     u_R(t) = R. i_R(t)

       U_R. √2 sin ( ωt + φ_u) = R. I_R. √2 sin ( ωt + φ_i) alors          U_R = R.I_R et      φ_u= φ_i

Résultat

• L’impédance Z_R du dipôle est:        Z_R = U_R/I_R = R  
• Le déphasage de la tension par rapport à l’intensité est nul    φ= φ_u – φ_i = 0 donc u et i sont en phase
• L’impédance complexe Z vérifie : Z = [R ; 0] = R. Il s’agit d’un nombre complexe purement réel.

Le diagramme de Fresnel donne :

U et I sont colinéaires.

Le condensateur

u_C(t) et i_C(t) s’expriment de la façon suivante :

• u_C(t) = U_C. √2 sin ( ωt + φ_i)      
• i_C(t) = I_C. √2 sin ( ωt + φ_u)

Cette relation implique les deux égalités suivantes :

       I_C = C ω.U_C et      φ_i =φ_u+π/2

Résultat:

• L’impédance Z_C s’exprime par :       Z_C = U_C/I_C = 1/Cω
• le déphasage de la tension par rapport à l’intensité du courant      φ= φ_u – φ_i = –π/2 donc i est en quadrature avance par rapport à u

Impédance complexe d’un condensateur est :

Bobine

sachons que   u_L(t) = L..

• u_L(t) = U_L. √2 sin ( ωt + φ_u)
• i_L(t) = I_L. √2 sin ( ωt + φ_i)

alors U_L. √2 sin ( ωt + φ_u)  =Lω. I_L. √2 cos( ωt + φ_i)

U_L. √2 sin ( ωt + φ_u)  =Lω. I_L. √2 sin ( ωt + φ_i +π/2)

Cette relation implique les deux égalités suivantes :

       U_L = L ω.I_L     et    φ_u=φ_i +π/2

Résultat:

• L’impédance Z_L s’exprime par   Z_L = U_L/I_L = Lω
• Le déphasage de la tension par rapport à l’intensité du courant      φ_u–φ_i =π/2 donc i est en quadrature retard par rapport à u

U est en quadrature avance sur I

L’impédance complexe Z_L vérifie : Z_L = [Lω ; π/2] =jLω

Association de dipôles en série

Dipôle R-L série

u(t) = u_R(t) + u_L(t)

U = Z.I         U_R = R.I          U_L = Lω.I

Construction de Fresnel :

Tableau groupement en série

Association de dipôles en parallèle

Admittance: est l’inverse de l’impédance: Y=1/Z, on peut écrire : I = Y.U

Tableau ; Admittance des dipôles élémentaires

En parallèle, les admittances complexes s’additionnent :

Groupement parallèle R, L

Construction de Fresnel

Tableau groupement en parallèle

Puissances en alternatif

 Puissances

La puissance électrique instantanée est le produit de la tension par le courant.

p(t) = U 2 sin ωt. I 2 sin (ωt – φ) = 2UIsin ωt. sin (ωt – φ)

• u (t) = U √2 sin ωt
• i(t) = I √2 sin (ωt – φ).

on utilise la relation trigonométrique: sin a .sin b =1/2[cos(a-b)+cos(a+b)]

p(t) = UIcos(ωt+φ-ωt )- U.I.cos (ωt+φ+ωt) = U.I.cosφ – U.I.cos (2ωt+φ)

Finalement: p(t) =U.I.cosφ – U.I.cos (2ωt+φ)

Puissance active

on appelle puissance active la puissance moyenne de p(t)

P = <p(t)> = <U.I cos φ>- <U.I.cos (2ωt+φ)>

cos (2ωt+φ) est sinusoïdal donc sa valeur moyenne est nulle.

donc La puissance active est : P =U.I.cosφ

elle Correspond à une fourniture réelle d’énergie transmise au récepteur et convertible en chaleur ou en travail en tenant compte du déphasage entre la tension et le courant.. Elle est mesurée avec un wattmètre

• P: puissance active en W
• U: tension efficace en V
• I: intensité efficace en A
• φ: déphasage de u par rapport à i en rad.

Puissance réactive

Q = U.I.sin φ unité : le voltampère réactif (VAR).

Correspond à la puissance fictive qui caractérise l’échange d’énergie non utilisée pour fournir un travail.

Puissance apparente

S = U.I mesurée avec un voltmètre et un ampèremètre unité : le voltampère (VA).

Relation entre les puissances

Triangle des puissances

Ce triangle donne immédiatement les relations suivantes :

cos φ = P / S  sin φ = Q / S  tan φ = Q / P  S² = P² + Q² 

Puissances consommées par les dipôles passifs élémentaires

Résistance

pour une résistance le déphasage φ de u par rapport à i est nul alors sin φ= 0 donc Q = 0

une résistance ne consomme pas de puissance réactive

Bobine

on a un déphasage φ=+π/2 alors sin φ= 1 soit Q = UI= LωI²=U²/Lω avec ( I=U/Z)

la puissance active P= UI cosφ=0 , donc une bobine absorbe de la puissance réactive

Condensateur

on a φ=-π/2 alors sin φ= -1 soit Q = -UI =- U²Cω = -I² / Cω ) et la puissance active P= UI cosφ=0

donc un condensateur fournît de la puissance réactive

Tableau rassemble les Puissances consommées par les dipôles passifs élémentaires

Théorème de Boucherot

Les puissances active et réactive absorbées par un groupement de dipôles sont respectivement égales à la somme des puissances  actives et réactives absorbées par chaque élément du groupement.

Importance du facteur de puissance

La tension U  (230 V ) ,  imposée par le réseau,  la puissance active  P  imposée par l’installation électrique à alimenter, on a  la relation  du  courant  I = P /U. cosφ

Plus votre installation comporte de moteurs asynchrones ( bobinage) plus le déphasage entre le courant et la tension devient élevé ( cos φ diminue) plus le courant devient fort I = P /U. cosφ et (Q = U.I.sin φ augmente) plus de consommation de la puissance réactive .cette puissance trop élevée sera facturée par le fournisseur d’énergie. Comment réduire la consommation de puissance réactive

la réponse il faut augmenter le facteur de puissance au minimum cos φ= 0,93 . c’est ce qu’on appelle relèvement du facteur de puissance. Un bon facteur de puissance c’est cos φ élevé proche de 1 ou tg φ faible proche de 0

Relèvement du facteur de puissance

Augmenter cos φ, donc réduire l’angle de déphasage. Pour se faire . il faut donc y ajouter en parallèle un condensateur.

Le condensateur est un composant permettant de déphaser de 90° en avance le courant i par
rapport à la tension u.

Notre but est de dimensionner le condensateur en fonction du facteur de puissance recherché cos φ_f

Lorsque le facteur de puissance augmente de cos φ à cos φ_f le déphasage diminue et la puissance réactive diminue de Q = P tan φ à Q_f = P tan φ_f

D’après la construction graphique, on a :

Qc + Q= Qf on déduit Qc= Qf – Q

on sait que :Q = P tan φ et Q_f = P tan φ_f

donc on en déduit : Qc = P ( tan φ_f – tan φ )

La puissance réactive fournie par un condensateur est :

Qc = – U² C ω

donc – U² C ω = P ( tan φ_f – tan φ )

Finalement la valeur du condensateur est : C = P ( tan φ – tan φ_f )/U² ω