Je vous présente le cours : étude de fonctions avec des exercices corrigés à la fin du cours.

Convexité, concavité et Point d’inflexion

Convexité

Définitions

Soit 𝒇 une fonction dérivable sur un intervalle I, représentée par sa courbe 𝓒 :

La fonction 𝒇 est convexe sur I si sa courbe 𝓒 est située entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes.

Concavité

Une fonction dérivable sur un intervalle I est concave sur cet intervalle si sa courbe représentative est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes.

Point d’inflexion

Définition

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, 𝐶_𝑓 sa courbe représentative dans un repère et a∈ I.

Le point A(a ; f(a)) est un point d’inflexion de 𝐶_𝑓 si la courbe traverse sa tangente en A.

C’est le point où s’opère le changement de concavité de la courbe 𝐶_𝑓

Convexité et dérivées

Convexité et signe de f ’’

Définition

Soit f une fonction dérivable sur I,

f est deux fois dérivable sur I

La dérivée de f ’, notée f ’’, est appelée dérivée seconde de f.

Propriété

Soit f une fonction deux fois dérivable sur I.

• Si pour tout réel x de I, f ’’(x) >0, alors f est convexe sur I ;
• Si pour tout réel x de I, f ’’(x) <0, alors f est concave sur I.

2) Point d’inflexion et dérivée seconde

Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I, 𝐶_𝑓 sa courbe représentative dans un repère et x_{0 ∈} I.

Le point A((x₀, f(x₀))) est un point d’inflexion de 𝐶_𝑓 si et seulement si f ’’ s’annule en x₀ en changeant de signe.

Exemple

Reprenons l’exemple de la fonction f(x) = x³

On a f ’(x) = 3x² et f ’’(x) = 6x s’annule en 0 en changeant de signe.

L’origine (0 ; 0) est donc un point d’inflexion de la courbe représentative.

Branches infinies

Asymptote horizontale

alors la courbe 𝐶_𝑓 représentative de la fonction f admet une asymptote horizontale d’équation y = a au voisinage de ±∞

Exemple :

Etudier les asymptotes de la fonction

Asymptote verticale

DEFINITION 

Si la fonction 𝑓 vérifie l’une des limites suivantes :

alors La droite d’équation x=a parallèle à l’axe des ordonnées, on l’appelle asymptote verticale à la courbe C.

Exemple :

Etudier l’asymptote de la fonction

Asymptote oblique et parabolique

On a 4 possibilités :

1. Asymptote oblique

alors la droite d’équation y = ax + b est asymptote oblique à la courbe C de la fonction f en ±∞

Exemple : déterminer asymptote oblique de la fonction

2.Branche parabolique de direction asymptotique (ox)

Définition

alors la courbe 𝐶_𝑓 de la fonction f admet une branche parabolique dans la direction de l’axe des abscisses ox ( O , ) au voisinage de l’infini

Exemple :

donc 𝐶_𝑓 admet une branche parabolique de direction (ox)

3.Branche parabolique de direction asymptotique (oy)

alors la courbe 𝐶_𝑓 de la fonction f admet une branche parabolique dans la direction de l’axe des ordonnés oy ( O , ) au voisinage de l’infini

Exemple :

f(x) = x²

donc 𝐶_𝑓 admet une branche parabolique de direction (oy)

4.Branche parabolique de direction asymptotique y=ax

Alors la courbe 𝐶_𝑓 de la fonction f admet une branche parabolique dans la direction de la droite d’équation y = ax  au voisinage de l’infini ±∞

Exemple :

Donc 𝐶_𝑓 admet une branche parabolique de direction la droite d’équation y = 2x  au voisinage de +∞

Résumé des branches infinies

AXES ET CENTRES DE SYMETRIES

Axe de symétrie :

La courbe représentative𝐶_𝑓 de la fonction numérique dans un repère orthogonal admet la droite d’équation x = a comme axe de symétrie si et seulement si :  ∀ h∊ℝ tel que a + h et a – h appartiennent à  D_f.

f(a + h) = f(a – h).

Centre de symétrie

La courbe représentative 𝐶_𝑓 de de la fonction numérique admet le point Ω(a, b) comme  de symétrie si et seulement si ∀ h∊ℝ centre tel que a + h et a – h appartiennent à D_f,
f(a + h) + f(a – h) = 2b. b est la moyenne de f(a + h) et de f(a – h).

$\frac{f(a + h)+ f(a – h)}{2}=b$